Die quadratische Gleichung ist eines der am meisten untersuchten Objekte in der Algebra. Im Allgemeinen wird es in der Form Ax 2 + Bx + C = 0 geschrieben, wobei A, B und C beliebige Koeffizienten sind und x eine unbekannte Variable ist. Die Lösung einer quadratischen Gleichung kann abhängig von den Werten dieser Koeffizienten eine unterschiedliche Anzahl von Wurzeln haben.
Wenn eine quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat, bedeutet dies, dass ihr Diagramm die Achse der Abszisse nur an einem Punkt schneidet. In diesem Fall wird gesagt, dass die Diskriminante der Gleichung Null ist: D = B 2 - 4AC = 0. Mit der Diskriminanz können Sie die Anzahl der Gleichungswurzeln und ihre Art bestimmen. Wenn D = 0 ist, verschmelzen die beiden Wurzeln zu einer und die Lösung der Gleichung ist die gleiche Zahl.
Es ist jedoch wichtig zu verstehen, dass eine einzelne Wurzel in einer quadratischen Gleichung nicht bedeutet, dass sie nur eine Lösung hat. In einigen Fällen können andere Lösungen vorhanden sein, die bei der einfachen Berechnung der Wurzel nicht erkannt werden. Dies hängt mit den Merkmalen der Gleichungsparameter zusammen und kann bei der Analyse der Gleichung mit Hilfe von Differentialkalkül- oder Geometriemethoden nachgewiesen werden.
Situationen, in denen eine quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat:
Man kann sich diese Situation so vorstellen: Das Diagramm einer quadratischen Gleichung ist eine Parabel, die die X-Achse an einem Punkt berührt. Die Wurzel einer quadratischen Gleichung kann mit der Formel x = -b/2a gefunden werden.
In der realen Welt treten Situationen, in denen eine quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat, nicht so häufig auf. Sie treten jedoch beispielsweise auf, wenn es eine Aufgabe gibt, den Schnittpunkt eines Kurvenpaares zu finden oder ein Gleichungssystem zu lösen.
Wenn die quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat, kann dies bedeuten, dass die Gerade und die Parabel keine gemeinsamen Schnittpunkte haben oder dass sie sich an einem Punkt schneiden. Dies kann eine interessante Tatsache in Geometrie, Physik oder Wirtschaft sein.
Extreme Koeffizientenwerte
Betrachten Sie die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung:
wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung sind.
Damit eine quadratische Gleichung eine Wurzel hat, muss die Diskriminante Null sein:
Bei der Lösung dieser Gleichung können zwei Fälle unterschieden werden, in denen extreme Werte von Koeffizienten zu einer Einwurzelung führen:
| Zufall | Bedingung | Extreme Koeffizientenwerte |
|---|---|---|
| 1 | a = 0 | Wenn der Koeffizient a Null ist, nimmt die Gleichung die Form bx + c = 0 an. Dies ist eine lineare Gleichung, die unter der Bedingung b = 0 eine einzelne Wurzel hat. Wenn also a = 0 und b = 0 ist, hat die quadratische Gleichung eine einzige Wurzel. |
| 2 | c = 0 | Wenn der Koeffizient c Null ist, nimmt die Gleichung die Form ax^2 + bx = 0 an. Diese Gleichung wird als unvollständige quadratische Gleichung bezeichnet. In diesem Fall gibt es einen Faktor x, der hinter die Klammern gesetzt werden kann: x(ax + b) = 0. Die Einwurzelbedingung wird bei a = 0 oder ax + b = 0 erfüllt. |
Aus diesen Fällen folgt, dass es notwendig ist zu bestimmen, welche Koeffizientenwerte zu diesem Ergebnis führen können, um eine einwurzelige quadratische Gleichung zu erhalten.
Übereinstimmende Wurzeln bei Diskriminierung gleich Null
Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung nur eine Wurzel hat. Dies ist ein Sonderfall, der auftritt, wenn der Graph einer quadratischen Gleichung die Achse einer Abszisse berührt.
Die Wurzel, die bei einem Diskriminanten von Null erhalten wird, wird als übereinstimmende Wurzel bezeichnet. Es wird als x = a bezeichnet, wobei a eine Zahl ist, die der Wurzel entspricht.
Übereinstimmende Wurzeln treten auf, wenn eine quadratische Gleichung so aussieht: ax2 + bx + c = 0, wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung sind, wobei die Diskriminante Null ist: D = b2 - 4ac = 0.
Die Berechnung der übereinstimmenden Wurzel erfolgt mit der Formel: x = -b / (2a).
Wenn die Diskriminante Null ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung der Parabel mit einem Scheitelpunkt, der die Achse der Abszisse berührt, grafisch dargestellt wird. Daher hat die Gleichung nur eine Wurzel, die den Berührungspunkt des Graphen und die Achse der Abszisse darstellt.
