Polygone sind Formen, die aus mehreren Segmenten bestehen, die einen Kreis bilden. Mit geometrischen Formeln und Eigenschaften von Polygonen können Sie die Anzahl ihrer Winkel und die Länge jedes Segments leicht bestimmen.
Eine Möglichkeit, die Anzahl der Winkel eines Polygons zu ermitteln, besteht darin, den Bogen des beschriebenen Kreises zu untersuchen. Der beschriebene Kreis ist ein Kreis, der durch alle Ecken eines Polygons verläuft. Wenn Sie die Länge des Bogens des beschriebenen Kreises kennen, können Sie die Anzahl der Ecken des Polygons mithilfe der folgenden Formel ermitteln:
Anzahl der Winkel = Bogenlänge des beschriebenen Kreises * 360° / (2 * π * R)
Hier π ist die Zahl Pi (der ungefähre Wert ist 3.14159), und R - der Radius des beschriebenen Kreises des Polygons. Diese Formel basiert auf der Beziehung zwischen der Bogenlänge eines Kreises und dem zentralen Winkel, der durch diesen Bogen gebildet wird.
Anzahl der Ecken eines Polygons entlang des Bogens des beschriebenen Kreises
Um die Anzahl der Winkel eines Polygons entlang des Bogens eines beschriebenen Kreises zu bestimmen, müssen Sie wissen, welcher Teil des Kreises durch diesen Bogen beschrieben wird.
Anhand des Verhältnisses zwischen der Länge des Bogens und der Länge des Kreises können Sie bestimmen, welcher Teil des Kreises durch den Bogen beschrieben wird. Verwenden Sie dann eine Formel, um die Anzahl der Winkel eines Polygons zu berechnen, um den gewünschten Wert zu finden.
Formel zur Berechnung der Anzahl der Winkel eines Polygons n entlang der Länge des Bogens s und dem Radius des Kreises r:
| Formel | Die Beschreibung |
|---|---|
| n = 360° / (360° / s * 2π * r) | Berechnet die Anzahl der Winkel eines Polygons anhand der Bogenlänge und des Radius eines Kreises. |
Zum Beispiel, wenn die Länge des Bogens s ist gleich 10 cm und der Radius des Kreises r ist 5 cm, wird die Anzahl der Ecken des Polygons sein:
n = 360° / (360° / 10 cm * 2π * 5 cm) = 36
Ein Polygon, das durch einen Kreisbogen von 10 cm Länge und einen Radius von 5 cm beschrieben wird, hat daher 36 Winkel.
Definieren des Polygons und des beschriebenen Kreises
Der beschriebene Umfang eines Polygons ist ein Kreis, der durch alle Ecken des Polygons verläuft. Ein solcher Kreis kann für jedes konvexe Polygon berechnet werden.
Sie können die folgende Formel verwenden, um die Anzahl der Ecken eines Polygons entlang des Bogens des beschriebenen Kreises zu ermitteln:
- Finde die Länge des Bogens, den der Kreis beschreibt (gemessen im Bogenmaß)
- Multiplizieren Sie die Bogenlänge mit 180 und dividieren Sie durch π
- Fügen Sie dem Ergebnis 2 hinzu
Daher kann die Anzahl der Winkel eines Polygons anhand der Bogenlänge des beschriebenen Kreises und mathematischer Operationen berechnet werden.
Die Beziehung zwischen einem Bogen und einem Winkel eines Polygons
Der Bogen zwischen den Seiten eines Polygons ist der Teil des Kreises, der dem mittleren Winkel entspricht. Sie können die Formel verwenden, um das Mittelwinkelmaß zu ermitteln:
| Maß für den Winkel | Bogenmaß |
|---|---|
| 360 grad | Umfangslänge |
| 1 grad | Umfang / 360 Länge |
| Winkel im Bogenmaß | 2π * Kreisradius * (Bogenmaß / Kreislänge) |
Anhand der Bogenlänge zwischen den Seiten des Polygons und des Radius des beschriebenen Kreises können Sie daher das Maß für den zentralen Winkel des Polygons berechnen.
Verwenden des Theorems zum äußeren Winkel eines Polygons
Um den Satz zum äußeren Winkel eines Polygons zu verwenden, muss man wissen, dass jedes Polygon eine Summe der inneren Winkel hat, die gleich (n-2)* 180 Grad ist, wobei n die Anzahl der Seiten des Polygons ist. Die Summe aller inneren Ecken eines Polygons entspricht also 360 Grad für ein Viereck.
Auf dieser Grundlage können wir den Satz über den äußeren Winkel eines Polygons verwenden, um die Anzahl der Winkel eines Polygons entlang des Bogens des beschriebenen Kreises zu bestimmen. Dazu müssen Sie den inneren Winkel des Polygons finden, der der Summe der beiden äußeren Winkel entspricht, und ihn von 360 Grad subtrahieren.
Beispiel: Wenn die Summe der beiden äußeren Ecken eines Polygons 120 Grad beträgt, beträgt der innere Winkel des Polygons 360 - 120 = 240 Grad. Auf dieser Grundlage können wir den Satz über den äußeren Winkel eines Polygons verwenden, um die Anzahl der Winkel zu bestimmen, die durch 240 Grad geteilt werden, um die Anzahl der Winkel des Polygons zu erhalten.
Die Verwendung des Theorems zum äußeren Winkel eines Polygons ermöglicht es daher, die Anzahl der Winkel des Polygons entlang des Bogens des beschriebenen Kreises zu bestimmen. Es ist ein nützliches Werkzeug für die geometrische Berechnung und die Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Definition von Eigenschaften von Polygonen.
Berechnung der Anzahl der Winkel entlang der Bogenlänge
Zuerst müssen Sie die Bogenlänge des Kreises für den ungefähren Wert des Polygons kennen. Für ein genaueres Ergebnis muss die Bogenlänge mit größerer Genauigkeit bekannt sein. Eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge finden Sie in der mathematischen Literatur oder verwenden Sie die Formel:
L = 2 * PI * R * (Anzahl der Grad/360) ,
wobei L die Länge des Bogens ist, PI die Zahl Pi (3,14. ), R ist der Radius des beschriebenen Kreises und die Anzahl der Grad ist die Winkelgröße des Bogens.
Mit der bekannten Bogenlänge L und dem Radius des beschriebenen Kreises R können Sie die Winkelmenge eines Polygons bestimmen. Dazu wird die folgende Formel verwendet:
n = 360 / (360 / L) = L / (2 * PI * R) ,
wobei n die Anzahl der Ecken des Polygons ist. Das Ergebnis dieser Formel ist die Anzahl der Ecken des Polygons, die auf die nächste ganze Zahl gerundet werden können.
Um die Anzahl der Winkel eines Polygons anhand der Bogenlänge zu berechnen, müssen Sie daher die Bogenlänge des Kreises und den Radius des beschriebenen Kreises kennen. Mit den angegebenen Formeln können Sie einen ungefähren Wert für die Anzahl der Winkel eines Polygons erhalten.
Beispiele für die Problemlösung
Hier sind einige Beispiele, wie Sie das Problem lösen können, die Anzahl der Winkel eines Polygons entlang des Bogens des beschriebenen Kreises zu bestimmen:
- Teilen Sie die Länge eines Bogens durch die Länge eines einzelnen Bogens. Wenn beispielsweise die Länge eines Bogens 360 Grad beträgt und die Länge eines Bogens 60 Grad beträgt, beträgt die Anzahl der Winkel des Polygons 6.
- Verwenden Sie eine Formel, um die Anzahl der Winkel eines Polygons zu berechnen: n = 360 / a, wobei n die Anzahl der Winkel und die Länge eines einzelnen Bogens ist. Wenn beispielsweise die Länge des Bogens 180 Grad beträgt, beträgt die Anzahl der Winkel des Polygons 360 / 180 = 2.
- Konstruieren Sie einen Kreis und teilen Sie ihn mit einem Kreis und einem Lineal in identische Winkel auf. Dann berechnen Sie die Anzahl der erhaltenen Winkel.
- Berechnen Sie die Bogenlänge anhand der Formel: L = a * r, wobei L die Länge des Bogens ist, a die Größe des Bogenwinkels im Bogenmaß ist und r der Radius des Kreises ist. Verwenden Sie dann die berechnete Bogenlänge, um die Anzahl der Winkel des Polygons mithilfe einer der vorherigen Methoden zu bestimmen.
Wählen Sie die für Sie geeignete Methode aus und beginnen Sie mit der Lösung des Problems! Denken Sie daran, Ihre Ergebnisse zu überprüfen und gegebenenfalls entsprechende Korrekturen vorzunehmen.
