Die quadratische Gleichung ist eine der am häufigsten untersuchten und am häufigsten verwendeten Arten von algebraischen Gleichungen. Das Problem, seine Wurzeln zu finden, kann auf verschiedene Arten gelöst werden, von denen eine die Anwendung der sogenannten Diskriminanzformel ist.
Die obige Gleichung x^2 - 49 = 0 ist eine quadratische Gleichung in der Standardform, wobei a=1, b=0 und c=-49 ist. Um es zu lösen, werden die grundlegenden Schritte zum Analysieren und Transformieren einer Gleichung verwendet, die darin bestehen, diese Werte in eine Diskriminanzformel zu ersetzen und die Wurzeln anschließend zu extrahieren.
Mit der Diskriminanzformel können Sie bestimmen, wie viele und welche Lösungen eine quadratische Gleichung hat. In diesem Fall ist die Diskriminante D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(1)(-49) = 0 + 196 = 196. Wenn also D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen; Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine Lösung; Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine gültigen Lösungen.
Was ist eine quadratische Gleichung?
Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene gültige Wurzeln.
Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine einzige gültige Wurzel – sie ist ein zweimal Vielfaches.
Mit der Lösung einer quadratischen Gleichung können Sie die Werte der Variablen x ermitteln, bei denen die Gleichung wahr ist. Es findet seine Anwendung in vielen Bereichen wie Physik, Wirtschaft, Computergrafik und anderen.
Definition und Merkmale
Ein Merkmal der quadratischen Gleichung ist das Vorhandensein einer Variablen im zweiten Grad und das Fehlen einer Variablen in einem Grad höher als der zweiten. Es ist auch wichtig zu beachten, dass der Faktor a muss von Null abweichen, sonst wird die Gleichung linear. Koeffizienten b und c sie können beliebige Werte annehmen, einschließlich negativer Werte.
Die Lösung der quadratischen Gleichung wird auf das Finden der Wurzeln, dh der Werte der Variablen, reduziert x, bei denen die Gleichung ausgeführt wird.
Eine quadratische Gleichung kann je nach Diskriminanz, die durch die Formel berechnet wird, unterschiedliche Wurzelzahlen haben: D = b 2 - 4ac. Wenn die Diskriminanz positiv ist (D > 0), dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn die Diskriminanz Null ist (D = 0), dann hat die Gleichung eine reelle Wurzel. Wenn die Diskriminanz negativ ist (D < 0), dann hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern hat komplexe Wurzeln.
Verschiedene Methoden können verwendet werden, um eine quadratische Gleichung zu lösen, z. B. eine Faktorisierung, eine vollständige Quadratmethode oder eine quadratische Gleichung. Eine der gebräuchlichsten Methoden ist die Diskriminanzformel: x = (-b ± √D) / 2a, wobei √D die Quadratwurzel des Diskriminanten ist.
Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen
Es gibt verschiedene Methoden, um quadratische Gleichungen zu lösen, einschließlich:
1. Faktorisierungsmethode: Wenn es möglich ist, eine quadratische Gleichung in Multiplikatoren zu zerlegen, ist die Faktorisierungsmethode eine der einfachsten Lösungen. Die Anwendung dieser Methode beinhaltet die Identifizierung des gemeinsamen Multiplikators und die weitere Zerlegung der Gleichung in zwei lineare Gleichungen, die dann gelöst werden können.
2. Ausschlussmethode: Bei dieser Methode wird die Gleichung in einer anderen Form neu geschrieben, nämlich in Form von (x - r)(x - s) = 0, wobei r und s zwei Werte von x sind, die der Gleichung entsprechen. Dann können Sie mithilfe der Eigenschaften von Multiplikatoren, die Null sind, die x-Werte definieren.
3. Die Formel des Diskriminanten: Für quadratische Gleichungen der allgemeinen Form ax^2 + bx + c = 0, wobei a, b und c bekannte Werte sind, können Sie die Diskriminanzformel verwenden, um die Werte von x. Die Diskriminanz D wird als D = b^2 – 4ac berechnet, und dann können Sie, abhängig von den Werten von D, die Gleichung mit der Formel x = (-b ± √D) / 2a lösen.
4. Grafische Methode: Die grafische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen umfasst das Zeichnen eines Graphen und das Definieren von Schnittpunkten mit x-Achsen. Die Schnittpunkte sind die Wurzeln der Gleichung.
Die Wahl der Methode zur Lösung einer quadratischen Gleichung hängt von ihrer spezifischen Form und Komplexität ab. Mit diesen Methoden können Sie Lösungen für die meisten quadratischen Gleichungen finden und die mathematische Argumentation vereinfachen.
Diskriminante und Quadratwurzelformel
Eine Diskriminante ist eine Zahl, die durch einen Ausdruck definiert wird D = b^2 - 4ac, wo die Gleichung die Form hat ax^2 + bx + c = 0.
In unserem Fall sind die Koeffizienten der Gleichung gleich a = 1, b = 0 und c = -49. Ersetzen wir sie in eine Diskriminanzformel:
D = (0)^2 - 4 * 1 * (-49)
D = 0 - 4 * (-49)
D = 0 + 196
D = 196
Wenn Sie jetzt die Bedeutung des Diskriminanten kennen, können Sie die Quadratwurzelformel anwenden:
Wenn D > 0 dann hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln:
x1 = (-b + √D) / (2a)
x2 = (-b - √D) / (2a)
Ersetzen Sie die Werte von Koeffizienten und Diskriminanten durch die Formel:
x1 = (0 + √196) / (2 * 1)
x2 = (0 - √196) / (2 * 1)
x1 = 14 / 2
x2 = -14 / 2
x1 = 7
x2 = -7
Daher ist die Lösung der quadratischen Gleichung x^2 - 49 = 0 sind zwei Wurzeln: x1 = 7 und x2 = -7.
