Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein leistungsfähiges Werkzeug in der Datenanalyse, mit dem wir die optimale direkte und am besten annähernde Datenmenge finden können. Diese Methode wird häufig in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Physik, Soziologie usw. verwendet., um Abhängigkeiten zwischen Variablen zu identifizieren und zukünftige Werte vorherzusagen.
In diesem Tutorial werden wir uns den schrittweisen Prozess des Erstellens der geraden Methode der kleinsten Quadrate ansehen. Der erste Schritt besteht darin, den Datensatz auszuwählen, den wir approximieren möchten. Dann berechnen wir die Summe der Quadrate der Abweichungen von jedem Punkt bis zur Geraden und minimieren diese Summe mit mathematischen Methoden.
Als nächstes definieren wir die Direkt-Winkel-Koeffizienten und den freien Term mit Formeln, die auf statistischen Berechnungen basieren. Dann können wir ein Diagramm unserer Annäherungslinie erstellen und es mit den ursprünglichen Daten vergleichen. Dies ermöglicht es uns, die Genauigkeit unseres Modells zu bewerten und Anomalien oder Emissionen zu erkennen.
Als Ergebnis erhalten wir eine direkte Gleichung, die verwendet werden kann, um die Werte einer abhängigen Variablen basierend auf den Werten einer unabhängigen Variablen vorherzusagen. Dies bietet uns ein leistungsfähiges Werkzeug für die Analyse und Vorhersage von Daten. Das direkte Zeichnen der kleinsten Quadrate ist ein wichtiger Schritt, um diese Methode zu verstehen und zu verwenden, und dieser Leitfaden wird Ihnen helfen, diese Technik zu beherrschen.
Schritt 1: Ermitteln der Quelldaten
Bevor wir mit der geraden Methode der kleinsten Quadrate beginnen, müssen Sie die Quelldaten definieren. Die Quelldaten sind eine Reihe von Punkten auf einer Ebene, durch die wir eine Gerade zeichnen möchten.
Diese Daten werden normalerweise als Punktkoordinaten (x, y) dargestellt, wobei x ein Wert auf der X-Achse ist und y ein Wert auf der Y-Achse ist. Ein Datensatz kann je nach Aufgabe eine beliebige Anzahl von Punkten enthalten.
Die Quelldaten können wie folgt aussehen:
| Punkt | x | y |
|---|---|---|
| A | 1 | 2 |
| B | 3 | 4 |
| C | 5 | 6 |
| D | 7 | 8 |
Die Quelldaten können in verschiedenen Formaten dargestellt werden, einschließlich Tabellen, Listen oder Arrays. Unsere Quelldaten werden in einer Tabelle mit den Spalten "Punkt", "x" und "y" dargestellt. Dies ermöglicht es uns, die Übereinstimmung zwischen den x- und y-Werten für jeden Punkt leicht zu sehen.
Jetzt, da wir die ursprünglichen Daten definiert haben, sind wir bereit, mit dem nächsten Schritt fortzufahren - die Berechnung der Koeffizienten durch direkte Methode der kleinsten Quadrate.
Schritt 2: Berechnung der Summe und des Werks von Variablen
Angenommen, wir haben n Wertepaare (X1, Y1), (X2, Y2), . (Xn, Yn). Wir können die Summe und das Produkt von Variablen anhand der folgenden Formeln berechnen:
| Summe der Variablen X | Summe der Variablen Y | Die Summe ihrer Werke |
|---|---|---|
| ΣX = X1 + X2 + . + Xn | ΣY = Y1 + Y2 + . + Yn | ΣXY = X1*Y1 + X2*Y2 + . + Xn*Yn |
Wenn wir die Summe und das Produkt von Variablen berechnen, können wir mit dem nächsten Schritt fortfahren und die Werte der Koeffizienten a und b in der Gleichung direkt mit der Methode der kleinsten Quadrate berechnen.
Schritt 3: Berechnen der Direktkoeffizienten
Um eine direkte Methode der kleinsten Quadrate zu erstellen, müssen Sie die Werte ihrer Koeffizienten berechnen. Direkte Koeffizienten können mit den folgenden Formeln gefunden werden:
- Berechnung von Durchschnittswerten: wir werden die Mittelwerte der Variablen X und Y ermitteln, indem wir ihre Summen berechnen und durch die Anzahl der Datenpunkte dividieren.
- Berechnung von Varianzen: wir werden die Varianzen der Variablen X und Y ermitteln, indem wir die Summe der Quadrate der Abweichungen jedes Wertes vom entsprechenden Mittelwert berechnen.
- Berechnung der Kovarianz: finden wir die Kovarianz zwischen den Variablen X und Y, indem wir die Abweichungsdifferenzen jedes Wertes vom entsprechenden Mittelwert von X und Y multiplizieren und sie summieren.
- Berechnung der Direktkoeffizienten: wir werden die Werte der Neigung und des Intersepts der Geraden ermitteln, indem wir die Kovarianz durch die Varianz der Variablen X dividieren und mit -1 multiplizieren.
Die resultierenden Koeffizienten bestimmen die Gleichung der Geraden: Y = aX + b, wobei a die Steigung ist und b das Intersept ist.
Schritt 4: Erstellen eines Diagramms und Überprüfen der Ergebnisse
Dazu verwenden wir die resultierende direkte Gleichung und die Werte aus unserem ursprünglichen Datensatz. Für jeden Prädiktorwert (unabhängige Variable) berechnen wir den entsprechenden Wert der abhängigen Variablen anhand der geraden Gleichung. Dann markieren wir jedes Wertepaar im Diagramm.
Wenn eine Gerade in einem Diagramm nahe an markierten Datenpunkten verläuft, zeigt dies eine gute Übereinstimmung des Modells mit den Daten an. Wenn es signifikante Unterschiede gibt, kann dies auf eine falsche direkte Gleichung oder auf das Vorhandensein von Ausreißern in den Daten hinweisen. In diesem Fall müssen wir unsere Analyse überprüfen und überprüfen, ob sie korrekt durchgeführt wird.
Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass das Diagramm nur ein Werkzeug ist, um die Ergebnisse einer Regressionsanalyse zu überprüfen, und es ist selbst keine offizielle Schätzung des Modells. Es hilft uns, die Daten zu visualisieren und bei Bedarf Anpassungen am Modell vorzunehmen.
