Die Verteilungsfunktion ist eines der Hauptmerkmale einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Es ermöglicht Ihnen, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Zufallswerten in einem bestimmten Intervall visuell darzustellen. Das Zeichnen eines Diagramms einer Verteilungsfunktion ist ein wichtiger Schritt bei der Analyse von Daten und der Vorhersage von Forschungsergebnissen.
Um die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu plotten, müssen Sie ihre Verteilungsdichte kennen oder Daten über Wahrscheinlichkeiten bei verschiedenen Werten haben. Sie können dann mathematische Pakete wie Python oder R verwenden, um die Zuordnungsfunktion zu berechnen und ein Diagramm zu zeichnen. In diesen Paketen gibt es spezielle Funktionen, die automatisch ein Diagramm basierend auf den Eingaben erstellen.
Bevor Sie mit der Erstellung eines Diagramms beginnen, müssen Sie das Zeitintervall für die Werte definieren, in dem Sie die Verteilungsfunktion zeichnen möchten. Normalerweise wählen Sie ein Intervall aus, das die Grundwerte einer Zufallsvariablen enthält. Berechnen Sie dann die Werte der Verteilungsfunktion für jeden Punkt im Intervall und zeigen Sie ihn in einem Diagramm an.
Das Diagramm der Verteilungs-Funktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist eine unterbrochene Linie. Es beginnt am Anfang des Intervalls bei Null und wächst allmählich auf eins an, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss. Das Diagramm kann je nach Art der Verteilung verschiedene Formen annehmen: normal, einheitlich, exponentiell und anders.
Definieren der Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsgröße wird durch eine mathematische Formel angegeben und als F (x) bezeichnet. Es bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallswert kleiner oder gleich dem angegebenen Wert von x ist.
Die Zuordnungsfunktion hat folgende Eigenschaften:
- Erhöht um x: F(x+δ) ≥ F(x) für jeden δ > 0
- Von oben begrenzt: 0 ≤ F(x) ≤ 1 für jedes x
- Von links kontinuierlich: F(x-δ) → F(x) bei δ → 0
- Die Verteilungs-Funktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen ist immer eine monoton nicht abbauende und eingeschränkte Funktion
Das Diagramm einer kontinuierlichen Zufallsvariablen-Verteilungsfunktion ist eine kontinuierliche Kurve, die an einem Punkt beginnt (−∞, 0) und an einem Punkt endet (+∞, 1). Es zeigt die Wahrscheinlichkeit an, einen Zufallswert zu beobachten, der kleiner oder gleich dem angegebenen Wert von x ist.
Diagramm der Verteilungsfunktion
Um ein Diagramm einer Verteilungsfunktion zu erstellen, müssen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion kennen. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zufallswert innerhalb eines bestimmten Intervalls erreicht wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion zeigt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Zufallswert den angegebenen Wert nicht übersteigt.
Um ein Diagramm der Verteilungsfunktion zu erstellen, sollten Sie Folgendes tun:
- Wählen Sie einen Anfangswert aus.
- Berechnen Sie den Wert der Verteilungsfunktion an diesem Punkt.
- Konstruiert einen Punkt im Diagramm mit Koordinaten (Anfangswert, Verteilungswert).
- Wiederholen Sie die Schritte 2 bis 3 für das Wertenraster, das den gewünschten Bereich abdeckt.
- Verbinden Sie die Punkte im Diagramm mit geraden Linien.
| Zufallswert | Wert der Verteilungsfunktion |
|---|---|
| x1 | F(x1) |
| x2 | F(x2) |
| x3 | F(x3) |
Die folgende Tabelle zeigt, wie Zufallswertwerte mit ihrer Verteilungsfunktion korrelieren.
Erstellen eines Diagramms einer Verteilungsfunktion
Das Diagramm der Verteilungs-Funktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ermöglicht die Darstellung der Wahrscheinlichkeiten verschiedener Werte dieses Wertes. Um einen Zeitplan zu erstellen, müssen Sie mehrere Schritte ausführen.
- Definieren Sie eine mathematische Funktion, die die Verteilung beschreibt. Zum Beispiel wird eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine normale Verteilung verwendet, und eine konstante Wahrscheinlichkeitsfunktion wird für eine gleichmäßige Verteilung verwendet.
- Legen Sie den Bereich der Zufallsvariablen fest, auf dem das Diagramm erstellt werden soll. Dieser Bereich muss mit dem Wertebereich der Funktion übereinstimmen.
- Berechnet die Werte der Verteilungsfunktion für jeden Zufallswert aus dem ausgewählten Bereich. Dazu können Sie analytische Methoden oder Computerprogramme verwenden.
- Zeichnen Sie ein Diagramm, in dem die Zufallswerte auf der X–Achse und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf der Y-Achse abgelegt werden.
Mit dem Diagramm der Verteilungsfunktion können Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen visualisieren und die Wahrscheinlichkeit, dass Werte in bestimmten Intervallen getroffen werden, leicht abschätzen. Dies hilft beim Verständnis und der Analyse zufälliger Phänomene sowie beim Treffen fundierter Entscheidungen auf der Grundlage statistischer Daten.
Beispiele für Zuordnungsfunktionsdiagramme
Ein Diagramm einer kontinuierlichen Zufallsvariablen-Verteilungsfunktion ist eine Kurve, die die Wahrscheinlichkeit anzeigt, dass Werte einer Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall erhalten werden. Wenn Sie die Verteilungsdichtefunktion kennen, können Sie ein Diagramm der Verteilungsfunktion erstellen, das die probabilistischen Eigenschaften einer Zufallsvariablen visualisiert.
Ein Beispiel für ein Diagramm einer Verteilungsfunktion könnte ein Diagramm einer normalen (gaußschen) Verteilung sein. Die Normalverteilung ist eine der häufigsten und am besten untersuchten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Das Diagramm der Normalverteilungsfunktion ist eine symmetrische, glockenförmige Kurve, die durch zwei Parameter gekennzeichnet ist: mathematische Erwartung (Mittelwert) und Standardabweichung.
Ein weiteres Beispiel wäre ein Diagramm der gleichmäßigen Verteilungsfunktion. Eine gleichmäßige Verteilung setzt voraus, dass alle Werte einer Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall gleich sind. Der Graph der gleichmäßigen Verteilungsfunktion ist eine gerade Linie, die während eines bestimmten Intervalls gleichmäßig wächst und abhängig von der Breite des Intervalls eine Steigung aufweist.
Sie können auch ein Diagramm der Exponentialverteilungsfunktion betrachten. Eine exponentielle Verteilung charakterisiert die Zeit zwischen dem Auftreten von Ereignissen im Poisson-Prozess. Der Graph der Exponentialverteilungsfunktion beginnt bei Null und nähert sich asymptotisch einer Einheit.
Dies sind nur einige Beispiele für Diagramme der Verteilungs-Funktionen einer kontinuierlichen Zufallsgröße. Wenn Sie die Verteilungsdichtefunktion kennen, können Sie Diagramme für andere Verteilungen erstellen und ihre probabilistischen Eigenschaften analysieren.
