Die Bestimmung der Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit einem bestimmten Nenner ist eine interessante Aufgabe auf dem Gebiet der Mathematik. In diesem Fall wird der Nenner 145 betrachtet.
Ein nicht reduzierbarer Bruch ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner außer einer Einheit keine gemeinsamen Teiler haben. Alle anderen Brüche mit diesem Nenner sind kontraktiv und können vereinfacht werden, indem der Zähler und der Nenner durch ihren gemeinsamen Teiler dividiert werden.
Um die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 zu ermitteln, müssen Sie alle möglichen Zähler berücksichtigen, die die Bedingung von 1 bis 144 erfüllen, und prüfen, ob sie mit 145 gegenseitig einfach sind. Zwei Zahlen werden als gegenseitig einfach bezeichnet, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist. Wenn die Zahl von 145 zueinander primär ist, ist der resultierende Bruch unokratisch.
Daher muss für jeden Zähler von 1 bis 144 ein Algorithmus verwendet werden, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden und seine Gleichheit mit eins zu überprüfen. Die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 entspricht der Anzahl der Zähler, für die die Bedingung erfüllt ist.
Wie viele nicht reduzierbare Brüche gibt es mit dem Nenner 145?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir überlegen, welche Zahlen der Zähler solcher Brüche sein können.
Der Nenner 145 kann in Primfaktoren zerlegt werden: 145 = 5 * 29.
Damit ein Bruchteil unbeschränkbar ist, sollte der Zähler daher keine gemeinsamen Primfaktoren mit 5 oder 29 haben.
Der Zähler kann keine Multiplikatoren von 5 und 29 enthalten, da sonst der Bruch reduziert werden kann.
Daher ist die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 gleich dem Produkt der Anzahl der Zahlen, die die Multiplikatoren 5 bzw. 29 nicht haben.
Solche Zahlen haben die Form 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 111, 112, 113, 114, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 144.
Es gibt also 115 nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 145.
Definition eines nicht reduzierbaren Bruchs
Um nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 145 zu bestimmen, müssen Sie einen Algorithmus verwenden, um die Kontraktilität des Bruches zu überprüfen. Wir teilen den Nenner 145 durch alle möglichen Teiler, unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Teiler kleiner als 145 sein muss.
| Teiler | Ergebnis |
|---|---|
| 1 | Reduzierbarer Bruch |
| 2 | Reduzierbarer Bruch |
| 3 | Reduzierbarer Bruch |
| 4 | Reduzierbarer Bruch |
| 5 | Reduzierbarer Bruch |
| 6 | Reduzierbarer Bruch |
| . | . |
| 145 | Reduzierbarer Bruch |
Daher kann aus den richtigen Brüchen mit dem Nenner 145 kein nicht reduzierbarer Bruch gewonnen werden.
Korrekte Brüche und ihre Eigenschaften
Um zu bestimmen, wie viele nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 145 aus den richtigen Brüchen erhalten werden können, müssen Sie alle richtigen Brüche mit diesem Nenner betrachten und prüfen, ob sie geschnitten werden können.
Zuerst finden wir alle richtigen Brüche mit dem Nenner 145:
Brüche mit einem solchen Nenner haben Zähler von 1 bis 144. Wir werden prüfen, ob sie reduziert werden können:
Brüche mit Zählern, die Primzahlen sind, können nicht reduziert werden, da sie bereits nicht reduzierbar sind.
Brüche mit Zählern, die zusammengesetzte Zahlen sind, können verkürzt werden, wenn ihr Nenner durch alle Primfaktoren des Zählers geteilt wird.
Um also die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 zu finden, müssen Sie überprüfen, welche Zähler Primzahlen und welche zusammengesetzten sind. Dann müssen Sie einen Nenner finden, der in alle Primfaktoren jedes zusammengesetzten Zählers unterteilt ist. So ist es möglich, die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche zu erhalten, die aus den richtigen Brüchen gebildet werden können.
Wie finde ich alle nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145?
Um alle nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 zu finden, müssen Sie die Methode anwenden, um den größten gemeinsamen Teiler (Knoten) zu finden, und die mathematischen Eigenschaften der Brüche verwenden.
Ein nicht reduzierbarer Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler und der Nenner gegenseitig einfach sind, dh ihr KNOTEN ist 1. Um also alle nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 zu finden, müssen Sie alle Zähler finden, die mit dem Wert 145 gegenseitig einfach sind.
Um dies zu tun, müssen Sie die Zahl 145 in Primfaktoren zerlegen: 145 = 5 * 29. Daher muss der Zähler für einen nicht reduzierten Bruch mit der Zahl 5 und 29 zueinander einfach sein. Um alle diese Zähler zu finden, können Sie eine einfache Formel verwenden:
Zähler = k * (5 * 29)
wobei k eine beliebige ganze Zahl außer Null ist. Dies liegt daran, dass wir, wenn wir mit Null multipliziert werden, einen Bruchteil mit einem Nullzähler erhalten, was kein unbeschränkbarer Bruchteil ist.
Auf diese Weise erhalten wir alle nicht reduzierbaren Brüche, deren Nenner 145 ist:
Es sind genau so viele nicht reduzierbare Brüche, die aus den richtigen Brüchen mit dem Nenner 145 gewonnen werden können.
Kriterien für die Bruchkontraktilität
Um die Kontraktilität eines Bruches zu bestimmen, muss festgelegt werden, ob ein gemeinsamer Teiler für den Zähler und den Nenner vorhanden ist. Wenn sie keine gemeinsamen Teiler haben, wird der Bruch als nicht reduzierbar bezeichnet.
Um einen gemeinsamen Teiler zu finden, müssen Sie den Zähler und den Nenner in Primfaktoren zerlegen. Dann müssen Sie die Multiplikatoren beider Zahlen vergleichen und ihre gemeinsamen Multiplikatoren finden. Wenn gemeinsame Multiplikatoren vorhanden sind, ist der Bruchteil reduzierbar, sonst bleibt er unokratisch.
Betrachten wir zum Beispiel einen 8/12-Bruch. Wir zerlegen den Zähler und den Nenner in Primfaktoren: 8=2*2*2, 12=2*2*3. Die gemeinsamen Multiplikatoren sind 2 und 2, was bedeutet, dass der Bruch auf 4/6 reduziert werden kann. Wenn es keine gemeinsamen Multiplikatoren nach der Reduzierung gibt, gilt der Bruch als vollständig reduzierbar.
So können Sie für dieses Thema die Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 anhand der oben beschriebenen Kontraktilitätskriterien bestimmen und die Zerlegung der Zahl 145 in Primfaktoren kennen.
Eine Tabelle aller möglichen Brüche erstellen
Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie eine Tabelle aller möglichen Brüche mit dem Nenner 145 erstellen. Um die Anzahl der Brüche zu finden, finden Sie zuerst die Anzahl der Zahlen kleiner 145, die sich gegenseitig einfach damit verbinden.
Verwenden Sie dazu die Euler-Funktion φ (145). Das Ergebnis ist eine Anzahl von gegenseitig Primzahlen kleiner als 145.
Als nächstes für jede Zahl aus der Lücke [1, 145]. Wir erzeugen alle möglichen Brüche mit einem Zähler, der dieser Zahl entspricht, und einem Nenner, der 145 ist.
Überprüfen wir jeden Bruch auf Kontraktilität, indem wir den euklidischen Algorithmus verwenden, um den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu finden. Wenn der Knoten 1 ist, ist der Bruch nicht reduzierbar.
Wir werden die gefundenen nicht reduzierbaren Brüche in eine Tabelle schreiben und jedes Paar einen Zähler-Nenner in eine separate Zeile einfügen.
| Zähler | Nenner |
|---|---|
| 1 | 145 |
| 2 | 145 |
| 3 | 145 |
| 4 | 145 |
Als Ergebnis werden alle möglichen nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 145 in der Tabelle aufgelistet.
