Wenn wir über vierstellige Zahlen sprechen, die ohne Wiederholung aus den Ziffern 12345 zusammengesetzt werden können, besteht sofort der Wunsch, die genaue Anzahl solcher Zahlen zu kennen. Diese Aufgabe mag auf den ersten Blick schwierig erscheinen, aber eigentlich ist alles ziemlich einfach.
Lassen Sie uns zunächst sehen, wie viele Optionen wir für jede Position in einer Zahl haben. Für die erste Position können wir also eine der fünf verfügbaren Ziffern auswählen. Für die zweite Position haben wir nur noch vier Ziffern, da wir die erste bereits ausgewählt haben. Für die dritte Position haben wir drei Optionen und für die vierte Position zwei.
Jetzt können wir beginnen, die Gesamtzahl der vierstelligen Zahlen aus den Ziffern 12345 ohne Wiederholung zu berechnen. Um dies zu tun, multiplizieren Sie die Anzahl der Optionen zur Auswahl von Ziffern für jede Position. Wir bekommen: 5 * 4 * 3 * 2 = 120. So können wir aus den Ziffern 12345 120 verschiedene vierstellige Zahlen ohne Wiederholung machen.
Zahlen aus den Ziffern 12345 ohne Wiederholung zusammenfassen
Um verschiedene vierstellige Zahlen aus den Ziffern 12345 ohne Wiederholung zu bilden, sollten Sie alle möglichen Kombinationen dieser Ziffern berücksichtigen.
Es gibt 5 mögliche Ziffern: 1, 2, 3, 4 und 5. Wir müssen 4 davon auswählen, um eine vierstellige Zahl zu erstellen. Dies kann getan werden 3 060 methoden für die Formel von Kombinationen ohne Wiederholung: C(5, 4) = 5! / (4!(5-4)!).
Für jede Zahl werden 4 Ziffern von 5 möglichen Ziffern ausgewählt. Daher kann jede Ziffer an einer der vier Positionen liegen. Insgesamt ergibt sich 3 060 x 4 = 12 240 Quadrupel.
Beispiele für solche Zahlen sind: 1234, 2345, 1245, 1345 usw. Alle diese Zahlen sind unterschiedlich und enthalten keine doppelten Ziffern.
Kombinatorik-Methode
Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie Kombinationen ohne Wiederholung verwenden. Die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen kann anhand der Formel ermittelt werden:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), wobei n die Anzahl der Elemente in der Menge ist, k die Anzahl der Elemente in der Kombination ist.
In diesem Fall n = 5 (Ziffern 1, 2, 3, 4, 5) und k = 4 (vierstellige Zahlen). Ersetzen Sie die Werte in die Formel:
C(5, 4) = 5! / (4! * (5 - 4)!) = 5! / (4! * 1!) = 5
So können aus den Ziffern 12345 ohne Wiederholung 5 verschiedene vierstellige Zahlen gebildet werden.
Die erste Ziffer der Zahl
Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können ohne Wiederholung aus den Ziffern 12345 bestehen? Lass uns das herausfinden.
Lassen Sie uns zunächst auf die erste Ziffer der Zahl achten. Da es nicht Null sein kann, haben wir vier Optionen: 1, 2, 3 und 4.
Nehmen wir an, wir haben die erste Ziffer der Zahl 1 gewählt. Jetzt müssen wir die drei verbleibenden Ziffern aus den verbleibenden vier Ziffern auswählen (2, 3, 4 und 5). Dies kann auf C(4, 3) = 4 Arten erfolgen.
Ebenso haben wir, wenn wir die erste Ziffer der Zahl 2 auswählen, drei Ziffern aus den drei verbleibenden Ziffern (1, 3, 4 und 5) auszuwählen. Auch C(3, 3) = 1 Weg.
Für die erste Ziffer der Zahl 1 haben wir also 4 * 4 = 16 mögliche Zahlen und für die erste Ziffer der Zahl haben wir 4 * 4 = 16 mögliche Zahlen 2 - 1 * 1 = 1 mögliche Zahl.
Wiederholen wir diesen Vorgang für die verbleibenden zwei Ziffern der Zahl und addieren die Ergebnisse für alle möglichen ersten Ziffern. Dies gibt uns die Gesamtzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die ohne Wiederholung aus den Ziffern 12345 zusammengesetzt werden können.
Die Antwort auf die Frage lautet also: 16 + 1 + 9 + 6 + 4 = 36.
Die zweite Ziffer der Zahl
Aus den Ziffern 12345 können wir verschiedene vierstellige Zahlen ohne Wiederholung erstellen. Betrachten Sie Optionen, bei denen die zweite Ziffer einer Zahl eine der Zahlen 1, 2, 3, 4 oder 5 sein kann.
1. Wenn die zweite Ziffer der Zahl 1 ist, können die anderen Ziffern aus den Zahlen 2, 3, 4 und 5 ausgewählt werden. So können wir 4 × 3 × 2 = 24 verschiedene vierstellige Zahlen bilden.
2. Wenn die zweite Ziffer der Zahl 2 ist, können die anderen Ziffern aus den Zahlen 1, 3, 4 und 5 ausgewählt werden. Ebenso können wir weitere 4 × 3 × 2 = 24 verschiedene vierstellige Zahlen bilden.
3. Wenn die zweite Ziffer der Zahl 3 ist, können die anderen Ziffern aus den Zahlen 1, 2, 4 und 5 ausgewählt werden. Und wieder können wir 4 × 3 × 2 = 24 verschiedene vierstellige Zahlen bilden.
4. Wenn die zweite Ziffer der Zahl 4 ist, können die anderen Ziffern aus den Zahlen 1, 2, 3 und 5 ausgewählt werden. Und wieder können wir 4 × 3 × 2 = 24 verschiedene vierstellige Zahlen bilden.
5. Wenn die zweite Ziffer der Zahl 5 ist, können die anderen Ziffern aus den Zahlen 1, 2, 3 und 4 ausgewählt werden. Und natürlich können wir 4 × 3 × 2 = 24 verschiedene vierstellige Zahlen bilden.
Somit kann die zweite Ziffer einer Zahl aus 5 verschiedenen Optionen ausgewählt werden, und die Gesamtzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die ohne Wiederholung aus den Ziffern 12345 zusammengesetzt werden können, beträgt 5 × 24 = 120.
Die dritte Ziffer der Zahl
Bei der Aufgabe, die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen zu zählen, die ohne Wiederholung aus den Ziffern 12345 zusammengesetzt werden können, spielt die dritte Ziffer der Zahl eine Schlüsselrolle.
Da wir es mit vierstelligen Zahlen zu tun haben, kann die dritte Ziffer aus fünf möglichen Optionen ausgewählt werden: 1, 2, 3, 4 oder 5. Aber wie bestimmt man die Anzahl der Zahlen für jede dritte Ziffer?
Dazu können Sie zwei Situationen berücksichtigen:
- Wenn bereits eine dritte Ziffer ausgewählt ist, können die verbleibenden drei Ziffern aus den verbleibenden vier Ziffern ausgewählt werden (ohne die ausgewählte dritte Ziffer einzuschließen). Daher existiert für jede dritte Ziffer eine 4! (4 Faktoren) mögliche Kombinationen der verbleibenden Ziffern.
- Wenn die dritte Ziffer noch nicht ausgewählt ist, lösen wir für jede der fünf möglichen dritten Ziffern die Aufgabe, drei der verbleibenden vier Ziffern auszuwählen (ohne die ausgewählte dritte Ziffer einzuschließen). Dies geschieht mit Kombinatorik, und dafür gibt es eine Formel C(4, 3), die gleich 4 ist.
Daher ist die Gesamtzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die aus den Ziffern 12345 ohne Wiederholung zusammengesetzt werden können, gleich:
4! + 5 * C(4, 3) = 24 + 5 * 4 = 44
Es ist also möglich, 44 verschiedene vierstellige Zahlen aus den Ziffern 12345 zu bilden, ohne sich unter Berücksichtigung der dritten Ziffer der Zahl zu wiederholen.
Die vierte Ziffer der Zahl
Um das Problem zu lösen, vierstellige Zahlen aus den Ziffern 12345 ohne Wiederholung zu erstellen,
es ist notwendig, alle möglichen Optionen für die vierte Ziffer der Zahl zu berücksichtigen.
Es gibt fünf Optionen für die vierte Position:
Es gibt also fünf Optionen für die vierte Ziffer der Zahl. Wobei jede dieser Optionen
sie können jede der verbleibenden Zahlen für die erste, zweite und dritte Position einer Zahl ohne Wiederholung kombinieren.
Daher kann die Gesamtzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen durch Multiplizieren der Anzahl der Optionen für jede Position ermittelt werden:
5 optionen für die erste Position, 4 Optionen für die zweite Position, 3 Optionen für die dritte Position und 5 Optionen für die vierte Position.
Daher wird die Gesamtzahl der verschiedenen Zahlen gleich sein 5 * 4 * 3 * 5 = 300.
Gesamtzahl der Zahlen
Um vierstellige Zahlen aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 ohne Wiederholung zu erstellen, können wir jede Ziffer nur einmal verwenden. In diesem Fall haben wir 5 Optionen für die Auswahl der ersten Ziffer, 4 Optionen für die zweite Ziffer, 3 Optionen für die dritte Ziffer und 2 Optionen für die letzte Ziffer.
Mit der Multiplikationsregel entspricht die Gesamtzahl der Zahlen dem Produkt aller möglichen Varianten: 5 * 4 * 3 * 2 = 120.
Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 können wir also 120 verschiedene vierstellige Zahlen ohne Wiederholung bilden.
