Ein Parallelogramm ist eine besondere Art von Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich sind. Eine der wichtigsten Fragen in der Geometrie ist, ob dieses Viereck ein Parallelogramm ist und ob es eine Ausbuchtungseigenschaft hat. Der Beweis für die Ausbuchtung eines Parallelogramms beruht darauf, dass alle Winkel darin gleich sind und die Summe von zwei seiner angrenzenden Winkel 180 Grad beträgt.
Betrachten wir zunächst das Parallelogramm ABCD. Lassen Sie uns seine beiden benachbarten Seiten AB und BC haben. Im Parallelogramm sind diese Seiten gleich, was bedeutet, dass sie die gleichen Längen haben. Wenn wir die Diagonalen AC und BD zeichnen, markieren wir den Schnittpunkt der Diagonalen als Punkt O. Da AB = BC ist, liegt der Punkt O auf einer geraden Linie, die durch die Mitte der AB- und BC-Segmente verläuft.
Da die Diagonalen Linien sind, die die Diagonale eines Parallelogramms enthalten, die den Segmenten anderer Diagonalen entsprechen und die gleichen Linien einer geraden Linie von einem Punkt entfernt sind, sind die Segmente AO und CO sowie die Segmente BO und DO in Bezug auf Punkt O symmetrisch. So haben wir gezeigt, dass sich im Parallelogramm alle Diagonalen an einem Punkt schneiden.
Das Konzept der Ausbuchtung
Formal ist die Figur konvex, wenn für alle Punkte A und B innerhalb der Figur und für eine beliebige Zahl t zwischen 0 und 1 der Punkt auf der AB-Linie, der durch t definiert ist, ebenfalls innerhalb der Figur liegt.
Das Konzept der Ausbuchtung spielt eine wichtige Rolle in der Geometrie und Optimierung. Eine Menge ist konvex, wenn und nur wenn ein Punkt davon als eine konvexe Kombination anderer Punkte dieser Menge dargestellt werden kann.
Konvexe Formen haben mehrere Eigenschaften, die sie bei der Lösung von Problemen nützlich machen. Zum Beispiel hat jedes konvexe Polygon, einschließlich eines Parallelogramms, sich schneidende Diagonalen sowie die Eigenschaft, dass die Summe der darin enthaltenen Winkel 360 Grad beträgt.
Konvexe Formen werden häufig in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie verwendet, einschließlich Optimierung, Computergrafik und Statistiken. Das Verständnis und die Verwendung des Konvexenkonzepts hilft, komplexe Probleme im Zusammenhang mit der Datengeometrie und -analyse zu vereinfachen und zu lösen.
Grundlegende Konzepte der Ausbuchtung
Um die Ausbuchtung zu verstehen, ist es wichtig, zwei grundlegende Konzepte zu verstehen: eine konvexe Hülle und eine konvexe Kombination.
- Konvexe Hülle: Die konvexe Hülle einer Reihe von Punkten ist die kleinste konvexe Form, die alle diese Punkte enthält. Mit anderen Worten, eine konvexe Hülle ist die kleinste konvexe Form, die um eine Vielzahl von Punkten herum beschrieben werden kann. Eine konvexe Hülle kann als Polygon dargestellt werden, das alle Punkte aus einer Menge enthält.
- Konvexe Kombination: Eine konvexe Kombination ist eine lineare Kombination von Punkten, bei der alle Koeffizienten nicht negativ sind und ihre Summe 1 ist. Die Idee hinter einer konvexen Kombination ist, dass sich ein Punkt innerhalb einer konvexen Form befindet, wenn er als eine konvexe Kombination von Punkten dargestellt werden kann, die an der Grenze oder innerhalb dieser Form liegen.
Die grundlegenden Konzepte der Ausbuchtung basieren auf dem Beweis der Ausbuchtung eines Parallelogramms und anderer geometrischer Formen.
Rechte Winkel im Parallelogramm
Als eine besondere Form eines Quadrats schließen die Eigenschaften eines Parallelogramms auch das Vorhandensein von rechten Winkeln ein. Ein rechtwinkliger Winkel wird als 90-Grad-Winkel oder pi / 2-Bogenmaß bezeichnet.
In einem Parallelogramm ist jedes Paar gegenüberliegender Seiten parallel, was dazu führt, dass die gegenüberliegenden Winkel des Parallelogramms gleich sind. Daher ist ein Paar entgegengesetzter Winkel im Parallelogramm gerade. Rechte Winkel werden durch den Schnittpunkt paralleler Seiten gebildet und bilden zwei Paare gleicher rechter Winkel.
Rechte Winkel in einem Parallelogramm haben eine Reihe wichtiger Eigenschaften. Zum Beispiel ist die Summe aller Winkel in einem Parallelogramm 360 Grad oder 2π Radiant. Dies folgt aus der Tatsache, dass jedes Paar entgegengesetzter Winkel im Parallelogramm gleich ist und die beiden Paare rechter Winkel 180 Grad oder π Bogenmaß betragen.
Eine weitere wichtige Eigenschaft von rechten Winkeln in einem Parallelogramm besteht darin, dass sie es in zwei gleiche Dreiecke teilen. Dies bedeutet, dass jede Linie, die durch die gegenüberliegenden Eckpunkte des Parallelogramms gezogen wird, die Mitte der parallelen Seiten durchläuft und das Parallelogramm in zwei gleiche Teile teilt.
Eigenschaften von rechten Winkeln
| Eigenschaft | Die Beschreibung |
| 1. Der rechte Winkel ist der größte aller möglichen Winkel. | Ein Winkel wird als gerade bezeichnet, wenn sein Maß 90 Grad beträgt. Alle anderen Winkel sind kleiner als der rechte Winkel. |
| 2. Zwei rechte Winkel bilden einen vollen Winkel. | Zwei rechte Winkel, die nebeneinander angeordnet sind und einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben, bilden einen vollen Winkel, der 180 Grad beträgt. |
| 3. Der zusätzliche Winkel des rechten Winkels beträgt 90 Grad. | Ein zusätzlicher Winkel ist der Winkel, der in Summe mit diesem Winkel einen rechten Winkel bildet. Im Falle eines rechten Winkels beträgt der zusätzliche Winkel ebenfalls 90 Grad. |
Die Kenntnis der Eigenschaften von rechten Winkeln ist eine wichtige Grundlage, um geometrische Formen zu verstehen und Beweise zu liefern.
Summe der Winkel eines Parallelogramms
Die Summe der Winkel eines Parallelogramms beträgt immer 360 Grad. Dies liegt an der Besonderheit seiner Struktur und den Eigenschaften paralleler Linien.
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich sind. Innerhalb des Parallelogramms können zwei Diagonalen gezogen werden, die es in vier Dreiecke teilen. Betrachten Sie jedes dieser Dreiecke einzeln.
- Im oberen Dreieck sind die angrenzenden Winkel A und D vertikale Winkel und daher gleich. In ähnlicher Weise sind die Winkel von B und C ebenfalls gleich. Daher ist die Summe der Winkel A und D gleich der Summe der Winkel B und C und beträgt 180 Grad.
- Ähnliche Überlegungen gelten auch für das untere Dreieck, wobei die Summe der Winkel E und H der Summe der Winkel F und G entspricht und ebenfalls 180 Grad entspricht.
Die Summe der Winkel A, B, C, D, E, F, G und H entspricht also der Summe der Winkel A und D (180 Grad) und der Summe der Winkel E und H (180 Grad), was 360 Grad entspricht.
Satz über die Summe der Winkel eines Parallelogramms
Um diesen Satz zu beweisen, verwenden wir die Eigenschaften von parallelen Geraden und die Eigenschaften von Winkeln der Ähnlichkeit von Dreiecken.
Betrachten Sie das ABCD-Parallelogramm:
| Winkel A | Winkel B |
Durch die Eigenschaft der parallelen Geraden ist der Winkel A am Scheitelpunkt des Parallelogramms gleich dem Winkel C und der Winkel B gleich dem Winkel D:
| Winkel A | Winkel B |
| Winkel C | Winkel D |
Daher sind die Winkel A, B, C und D im Parallelogramm gleich beieinander:
| Winkel A | Winkel B |
| Winkel C | Winkel D |
Die Summe der Winkel A, B, C und D im Parallelogramm entspricht also 180 Grad.
Winkelungleichheit im Parallelogramm
Betrachten wir das Parallelogramm von ABCD. Lassen Sie Winkel A und Winkel C die gegenüberliegenden Ecken sein.
Entsprechend der Winkelungleichheit ist der Winkel A + der Winkel C = 180 Grad. Das heißt, wenn wir den Wert eines der gegenüberliegenden Winkel kennen, können wir den Wert eines anderen Winkels bestimmen. Wenn beispielsweise der Winkel A 70 Grad beträgt, beträgt der Winkel C 110 Grad.
Sie können eine Winkelungleichheit in einem Parallelogramm verwenden, um die Ausbuchtung eines Parallelogramms zu überprüfen. Wenn die Summe der beiden gegenüberliegenden Winkel 180 Grad beträgt, ist das Parallelogramm konvex. Wenn diese Summe jedoch nicht gleich 180 Grad ist, ist das Parallelogramm nicht konvex.
Die Winkelungleichheit im Parallelogramm ist ein wichtiges Element in der Geometrie. Es macht es einfach zu erkennen, ob ein Parallelogramm konvex ist oder nicht. Die Verwendung dieser Ungleichheit hilft, andere Eigenschaften und Sätze zu vereinfachen und zu beweisen, die mit Parallelogrammen verbunden sind.
Beweis für Winkelungleichheit
Um die Winkelungleichheit zu beweisen, führen wir ein diagonales Parallelogramm durch. Wir bezeichnen das Parallelogramm in dieser Aufgabe als ABCD, wobei AB die Seite ist, BC die gegenüberliegende Seite ist, AD die Diagonale ist und BD die gegenüberliegende Diagonale ist.
- Betrachten Sie den Winkel von BAC und den Winkel von BDC. Durch die Konstruktion sind diese Winkel gleich, da sie vertikale Winkel sind.
- Auch nach der Konstruktion des Parallelogramms sind der Winkel ABC und der Winkel CDA, wenn sich benachbarte Winkel gegenüberliegen, gleich.
- Aus Absatz 1 und Absatz 2 ergibt sich, dass der Winkel des BAC gleich dem Winkel des CDA ist.
Betrachten Sie die anderen beiden Winkel des Parallelogramms: den Winkel ABD und den Winkel BCD. Nach der Konstruktion sind diese Winkel vertikale Winkel. Daher ist der Winkel von ABD gleich dem Winkel von BCD.
Aus dem Ergebnis von Absatz 3 und Absatz 4 ergibt sich, dass die Summe der Winkel BAC und ABD der Summe der Winkel CDA und BCD entspricht.
So haben wir die Winkelungleichheit bewiesen: Die beiden gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms sind immer größer als die Summe der beiden anderen Winkel.
Diagonale Parallelogramm
Die Diagonale eines Parallelogramms wird als eine Linie bezeichnet, die Scheitelpunkte verbindet, die nicht benachbart sind.
Ein Diagonalparallelogramm hat mehrere Eigenschaften:
- Die Diagonalen eines Parallelogramms teilen es in zwei gleiche Dreiecke.
- Die Diagonalen des Parallelogramms schneiden sich an einem Punkt, der der Mittelpunkt jedes einzelnen ist.
- Die Diagonalen des Parallelogramms sind einander gleich.
Daher sind die Diagonalen des Parallelogramms die Bisektristen voneinander und werden in zwei Hälften geteilt.
Wenn wir diese Eigenschaften kennen, können wir Diagonalen verwenden, um die Ausbuchtung eines Parallelogramms zu beweisen.
