Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind. Was macht das Parallelogramm jedoch so besonders? Eines seiner bedeutenden Merkmale ist, dass seine Diagonalen Bisektrisen der Winkel eines Parallelogramms sind.
Die Diagonalen eines Parallelogramms teilen es in zwei gleiche Dreiecke. Diese Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Seiten, da parallele Seiten gleichschenklige Dreiecke erzeugen. Daraus folgt, dass jede Diagonale eines Parallelogramms seine Winkel in zwei gleiche Teile teilt.
Per Definition ist die Winkelbissektrice eine gerade, die diesen Winkel in zwei gleiche Teile teilt. In einem Parallelogramm teilen beide Diagonalen Winkel in zwei gleiche Teile, daher sind sie die Bisektristen der Winkel des Parallelogramms. Dabei sind die Winkel, die von parallelen Seiten und Diagonalen gebildet werden, entsprechende Winkel und gleich zueinander.
Das Konzept des Parallelogramms und seine Eigenschaften
- Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel: Jede Seite des Parallelogramms ist parallel zur gegenüberliegenden Seite. Dies bedeutet, dass sie sich niemals schneiden, wenn eine Seite des Parallelogramms entlang der gegenüberliegenden Seite gehalten wird.
- Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich: Jede Seite des Parallelogramms ist in der Länge der entsprechenden gegenüberliegenden Seite gleich. Das heißt, wenn Sie eine der Seiten des Parallelogramms von einem beliebigen Punkt der gegenüberliegenden Seite verschieben, erhalten Sie ein Segment, das der entsprechenden Seite entspricht.
- Die entgegengesetzten Winkel sind gleich: Jeder Winkel des Parallelogramms entspricht dem gegenüberliegenden Winkel. Das heißt, wenn eine Seite des Parallelogramms fortgesetzt wird, bis sie sich mit der anderen Seite kreuzt und einen Winkel bildet, entspricht dieser Winkel dem gegenüberliegenden Winkel.
- Benachbarte Winkel werden in 180 Grad zusammengefasst: wenn Sie an jedem Scheitelpunkt des Parallelogramms zwei benachbarte Seiten konstruieren, die einen Winkel bilden, beträgt die Summe aller Winkel 180 Grad.
- Die Diagonalen eines Parallelogramms werden in zwei Hälften geteilt: Jede Diagonale eines Parallelogramms teilt sie in zwei gleiche Dreiecke. Das heißt, wenn Sie eine gerade Linie zwischen zwei Eckpunkten eines Parallelogramms ziehen, wird sie es in zwei Formen gleicher Flächen aufteilen.
Die Kenntnis dieser Eigenschaften hilft, die Besonderheiten und Zusammenhänge von Seiten und Winkeln in Parallelogrammen zu verstehen, was beim Nachweis und Verständnis der verschiedenen Eigenschaften und Sätze, die mit dieser Figur verbunden sind, nützlich sein kann.
Definition der Bisektrix und ihrer Eigenschaften
Die Haupteigenschaft einer Bisektrix ist, dass sie die entgegengesetzten Winkel eines Parallelogramms in zwei gleiche Teile teilt. Das heißt, wenn wir einen der gegenüberliegenden Winkel bisektrisieren, erhalten wir zwei Winkel, die gleich groß sind.
Darüber hinaus haben die Parallelogrammbissektren auch Schnitteigenschaften an einem Punkt - dem Schnittpunkt der Diagonalen. Dieser Punkt wird als zentraler Punkt des Parallelogramms bezeichnet und teilt jede der Bisektrisen in zwei gleiche Teile.
Interessanterweise haben die Bisektrisen im Parallelogramm auch Eigenschaften von geraden Linien, die die gegenüberliegenden Eckpunkte des Parallelogramms verbinden. Das heißt, wenn wir die Scheitelpunkte eines Parallelogramms, die nicht benachbart sind, mit einer Bisektrix verbinden, sind die resultierenden Linien parallel zu den Seiten des Parallelogramms.
Die Parallelogramm-Bisektrisen teilen also nicht nur die Winkel in zwei gleiche Teile, sondern schneiden sich auch an einem Punkt, dem zentralen Punkt des Parallelogramms, und verbinden die Eckpunkte des Parallelogramms, um parallele Linien zu seinen Seiten zu bilden.
Parallelitäts-Bisectris-Beweis
Sei ABCD ein Parallelogramm, wobei AC und BD diagonal sind. Lassen Sie uns die Winkelbissektrise ABD zeichnen, sie mit dem Punkt M bezeichnen. Wir werden auch die Winkelbissektrise BCD zeichnen, sie mit dem Punkt N bezeichnen.
Lassen Sie uns zeigen, dass M und N parallel sind, was ein Beweis für unsere Behauptung sein wird:
Betrachten Sie die Dreiecke ABM und CBD.
Im ABM-Dreieck sind die Winkel von BAM und AMB gleich, da AM die Bisektrise des ABD-Winkels ist. Winkel B ist allgemein, was bedeutet, dass diese Dreiecke aufgrund von Winkel-Winkel-Winkel ähnlich sind.
Ebenso sind die Winkel von CDM und DCM im CBD-Dreieck gleich, da DM die Bisektrise des BCD-Winkels ist. Der C-Winkel ist allgemein, daher sind diese Dreiecke auch in Bezug auf Winkel-Winkel-Winkel ähnlich.
Da die Dreiecke ABM und CBD ähnlich sind und eine gemeinsame AB-Seite haben, hat das Seitenverhältnis die folgende Form:
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABM und CBD ergibt sich auch, dass der Winkel von DCM gleich dem Winkel von AMB ist. Aber der AMB-Winkel ist auch gleich dem ABM-Winkel, da der AM - Bissectris ist. Der DCM-Winkel entspricht also dem ABM-Winkel.
Betrachten Sie die Dreiecke ABM und CDM.
Wir bezeichnen den Winkel von ABM als α und den Winkel von DCM als β.
Der ABM-Winkel ist gleich dem DCM-Winkel, da sie die entsprechenden Winkel ähnlicher Dreiecke sind.
Da der ABM-Winkel gleich dem DCM-Winkel ist und diese Winkel die entsprechenden Winkel ähnlicher Dreiecke sind, sind ABM und CDM ebenfalls ähnlich.
Bedeutet AB/CD = AM/CM.
Da das Parallelogramm ABCD ist, bedeutet AB = CD, AM = CM.
Am Ende erhalten wir das folgende Verhältnis: AB / BC = AM / DM = AM / CM.
Da AM = CM ist, sind die Dreiecke ABM und CDM gleichschenklige Dreiecke. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Bisektrise des Winkels auch die Höhe und der Median.
Daher ist die ABD-Winkelbissektrix die Höhe und der Median im Dreieck ABM, während die BCD-Winkelbissektrix die Höhe und der Median im Dreieck CDM ist.
Höhen und Mediane in Dreiecken, die von einem Scheitelpunkt gezogen werden, sind parallel.
Daher sind die Winkel-Bisektoren ABD und BCD ebenfalls parallel. Somit sind die Parallelogrammbissektoren parallel zueinander.
