Aufgaben zum Wiegen von Münzen oder Kugeln waren schon immer bei Puzzle-Fans und mathematischen Genies beliebt. Eine der bekanntesten Aufgaben dieses Typs ist die Aufgabe, eine gefälschte Münze unter 27 Münzen zu finden. Wie schwierig ist es, diese Aufgabe zu lösen, und wie viel Gewicht wird benötigt, um eine falsche Münze zu finden?
Möglicherweise müssen Sie ein paar Wägungen durchführen, um die Antwort zu finden. Die 27-Münzen-Herausforderung ist eine klassische Gewichtsproblemaufgabe, die eine wichtige Frage aufwirft: wie finde ich die geringste Anzahl von Gewichtungen, um eine falsche Münze unter 27 Münzen zu bestimmen, indem ich nur dreimal eine Waage verwende?
Auf den ersten Blick mag das Problem ziemlich kompliziert erscheinen, aber mit dem richtigen Ansatz wird es ziemlich einfach gelöst. Es ist notwendig, das Wiegen richtig zu organisieren, damit die falsche Münze am Ende eindeutig identifiziert werden kann. Wenn Sie einer bestimmten Strategie folgen und Gewichtungen in einer bestimmten Reihenfolge durchführen, können Sie die Aufgabe in drei Gewichtungen bewältigen.
Münzen, eine Fälschung: Wie viel Wiegen braucht man?
Eine effektive Methode zur Lösung dieses Problems ist die Verwendung der binären Suche. Dazu werden die Münzen in 3 Gruppen unterteilt: 9 Münzen pro Waage und die restlichen 9 Münzen werden beiseite gelassen.
1. Zuerst werden zwei Gruppen von 9 Münzen verglichen. Wenn die Gewichte gleich sind, befindet sich die falsche Münze unter den 9 verbleibenden Münzen.
2. Wenn Sie die Gruppe, in der sich die falsche Münze befindet, nicht identifizieren können, werden zwei Gruppen von 9 Münzen in 3 Gruppen mit jeweils 3 Münzen unterteilt.
3. Es werden zwei Gruppen von 3 Münzen gewogen. Wenn die Gewichte gleich sind, ist die falsche Münze unter den 3 verbleibenden Münzen.
4. Wenn Sie die Gruppe, in der sich die falsche Münze befindet, nicht identifizieren können, werden zwei Gruppen von 3 Münzen in jeweils 3 Gruppen von 1 Münze unterteilt.
5. Es werden zwei Gruppen von 1 Münze von den verbleibenden 3 Münzen gewogen. Wenn die Gewichte gleich sind, befindet sich die falsche Münze unter den beiden verbleibenden Münzen.
6. Wenn eine der drei Münzgruppen weniger oder mehr wiegt als die andere Gruppe, befindet sich die falsche Münze in dieser Gruppe.
Also, um eine gefälschte Münze von 27 Münzen zu finden, benötigen Sie nicht mehr als 3 Gewichtungen auf einer Becherwaage.
| Schritt | Eine Gruppe von Münzen | Wägung |
|---|---|---|
| 1 | Gruppe 1: 9 Münzen | Linke Tasse vs Rechte Tasse |
| 2 | Gruppe 2: 9 Münzen | Linke Tasse vs Rechte Tasse |
| 3 | Gruppe 3: 9 Münzen | Linke Tasse vs Rechte Tasse |
| 4 | Gruppe 4: 3 Münzen | Linke Tasse vs Rechte Tasse |
| 5 | Gruppe 5: 3 Münzen | Linke Tasse vs Rechte Tasse |
| 6 | Gruppe 6: 1 Münze | Linke Tasse vs Rechte Tasse |
Aufteilung in drei Gruppen
Bei dieser Methode werden die ursprünglichen 27 Münzen in drei Gruppen von jeweils 9 Münzen unterteilt. Sie können auch eine Waage verwenden, um zwei dieser drei Gruppen zu wiegen.
Wenn die Waage ausgeglichen ist, bedeutet dies, dass sich die falsche Münze unter den verbleibenden 9 Münzen befindet, was bedeutet, dass sie im nächsten Schritt gefunden wird.
Wenn die Waage jedoch nicht ausgeglichen ist, bedeutet dies, dass sich die falsche Münze in einer dieser beiden Gruppen befindet. In diesem Fall wird eine leichtere Gruppe von zwei ausgewählt und ihre Münzen werden in drei Gruppen von jeweils 3 Münzen unterteilt.
Nachdem Sie zwei der drei Gruppen gewichtet haben, können Sie feststellen, in welcher der Falschmünzen sich befindet. Als nächstes können Sie die Waage erneut verwenden, um zwei Münzen aus dieser Gruppe zu wiegen.
Wenn die Waage ausgeglichen ist, bedeutet dies, dass die falsche Münze die dritte Münze dieser Gruppe ist. Wenn die Waage jedoch nicht ausgeglichen ist, bedeutet dies, dass die falsche Münze eine von zwei Münzen ist, die zum Wiegen genommen wurden.
Mit dieser Methode ist es also möglich, eine falsche Münze in wenigen einfachen Wägeschritten zu identifizieren.
Wiegen der ersten beiden Gruppen
Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie alle Münzen in drei gleiche Gruppen mit jeweils 9 Münzen aufteilen. Dann müssen Sie zwei beliebige der drei Gruppen abwägen.
Wenn beide Gruppen auf der Waage gleich sind, bedeutet dies, dass sich die falsche Münze in der dritten, nicht gewichteten Gruppe befindet. Dann ist der nächste Schritt, zwei beliebige Münzen unter den Münzen dieser Gruppe zu wiegen. Wenn einer von ihnen leichter ist, dann ist das eine falsche Münze. Wenn sie im Gleichgewicht sind, ist die falsche Münze die dritte Münze, die ungewichtet bleibt.
Wenn eine der Gruppen leichter auf der Waage ist, befindet sich die falsche Münze in dieser Gruppe. Um festzustellen, welche der Münzen gefälscht ist, müssen Sie zwei beliebige Münzen aus dieser Gruppe wiegen. Wenn einer von ihnen leichter ist, dann ist das eine falsche Münze. Wenn sie im Gleichgewicht sind, ist die falsche Münze die dritte Münze, die ungewichtet bleibt.
Neue Gruppe auswählen
Um eine gefälschte 27-Münzen-Münze zu identifizieren, muss die Wägemethode auf der Becherwaage angewendet werden. Dabei sollten zunächst alle Münzen in drei Gruppen von jeweils 9 Münzen eingeteilt werden.
Als nächstes werden zwei Wägungen durchgeführt:
1. Die Schultern der Waage werden gewogen, eine hat 9 Münzen und die andere 9 Münzen. Mit diesem ersten Wiegen können Sie feststellen, in welcher der beiden Münzgruppen sich eine falsche Münze befindet.
2. Die Gruppe, in der sich die falsche Münze befindet, wird in 3 gleiche Münzgruppen unterteilt: jeweils 3 Münzen. Als nächstes wird ein neues Wiegen durchgeführt: Eine Gruppe von Münzen wird auf eine gelegt und eine andere auf eine andere. Wenn die Waage jedoch wieder gleich ist, befindet sich die falsche Münze in der verbleibenden Gruppe.
Nach zwei Wägungen wird bekannt sein, in welcher Gruppe sich die falsche Münze befindet. Um eine Fälschung genau zu identifizieren, muss die verbleibende Gruppe in drei Münzen aufgeteilt werden.
Das dritte Wiegen bestimmt, in welcher der drei Münzen sich die falsche befindet. Am Ende werden nur drei Gewichtungen auf der Becherwaage benötigt, um eine falsche Münze in einer Gruppe von 27 Münzen zu bestimmen.
Eine neue Gruppe abwägen
Nehmen wir zwei der drei Gruppen, die wir erhalten haben, und legen Sie jeweils 3 Münzen auf die linke und rechte Waagschale. Wenn die Waage ausgeglichen ist, bedeutet dies, dass sich die falsche Münze in der dritten Gruppe befindet, die wir bei dieser Gewichtung nicht verwenden. Jetzt bleibt nur noch eine weitere Gewichtung in dieser Gruppe übrig, um eine bestimmte falsche Münze zu identifizieren.
Wenn die Waage jedoch nicht ausgeglichen ist, bedeutet dies, dass sich die falsche Münze in einer der beiden ausgewählten Gruppen befindet. Nehmen wir diese Gruppe und teilen Sie sie in 3 Münzen, die wir auf die linke Waagschale legen, und 3 Münzen auf die rechte Waagschale. Wenn die Waage ausgeglichen ist, ist die falsche Münze die vierte ungenutzte Münze. Wenn die Waage nicht ausbalanciert ist, befindet sich die falsche Münze auf der darunter liegenden Waagschale. Jetzt bleibt es übrig, ein weiteres Wiegen mit zwei Münzen von dieser Waagschale durchzuführen, um die falsche Münze zu identifizieren.
Auswahl der Zusammensetzung der letzten Gruppe
Nach zwei Wägungen haben wir noch 3 Münzgruppen: zwei Gruppen von 9 Münzen und eine Gruppe von 8 Münzen. Wir wissen bereits, dass sich in einer dieser Gruppen eine falsche Münze befindet.
Um eine falsche Münze zu identifizieren, müssen wir ein letztes Wiegen durchführen. Aufgrund der begrenzten Anzahl von Wägungen können wir jedoch nicht einfach 9 Münzen in jeder Gruppe vergleichen und es ist einfach, die falsche zu identifizieren.
Um die Anzahl der Wägungen zu reduzieren, können wir die Zusammensetzung der letzten Gruppe so auswählen, dass die Notwendigkeit zusätzlicher Wägungen minimal ist. In diesem Fall ist es sinnvoll, 3 Münzen aus zwei Gruppen von 9 Münzen zu wiegen.
Daher werden wir 3 Münzen aus jeder Gruppe von 9 Münzen wiegen. Es gibt zwei mögliche Ergebnisse:
- Wenn eine der Gewichtungen zeigt, dass die gewichteten Gruppen gleich gewichtet sind, befindet sich die falsche Münze in der verbleibenden Gruppe von 8 Münzen. Um eine falsche Münze zu bestimmen, können wir ein zusätzliches Wiegen durchführen, indem wir 3 Münzen aus der verbleibenden Gruppe vergleichen.
- Wenn eine der Gewichtungen zeigt, dass die gewichteten Gruppen nicht gleich groß sind, befindet sich die falsche Münze in einer der gewichteten Gruppen. Um eine falsche Münze zu bestimmen, können wir eine zusätzliche Wägung unter 3 Münzen aus der leichten Gruppe durchführen.
Wenn wir also die Zusammensetzung der letzten Gruppe unter Berücksichtigung der minimalen Anzahl möglicher zusätzlicher Gewichtungen auswählen, können wir die falsche Münze in dieser Aufgabe identifizieren.
Gewichtung der letzten Gruppe
Nachdem die falsche Münze im vorherigen Wiegen gefunden wurde, bleibt es übrig, sie unter den drei Münzen in der letzten Gruppe zu finden. Dazu ist eine weitere Abwägung erforderlich.
Teilen wir die verbleibenden drei Münzen in zwei Gruppen von jeweils zwei Münzen auf. Wir legen eine Münze auf die Waage auf der einen Seite und die andere Münze auf die Waage auf der anderen Seite. In diesem Fall sind zwei Ergebnisse möglich:
- Die Waage zeigt das gleiche Gewicht an. Dies bedeutet, dass die verbleibende dritte Münze eine Fälschung ist.
- Die Waage zeigt ein anderes Gewicht an. Wenn eine der Seiten der Waage fällt, bedeutet dies, dass sich die falsche Münze auf dieser Seite befindet. Und wenn beide Anhänger auf der gleichen Ebene sind, bedeutet dies, dass die falsche Münze auf dem dritten Gewicht liegt.
Wenn Sie also nur drei Gewichtungen durchführen, können Sie die falsche Münze unter den 27 Münzen genau identifizieren.
Identifizierung einer gefälschten Münze
Bei einer Aufgabe mit 27 Münzen, bei der eine Fälschung vorliegt, ist es erforderlich, die falsche Münze mithilfe von Wägungen zu identifizieren. Für diese Aufgabe müssen wir Gewichte verwenden.
Der Prozess zur Identifizierung einer gefälschten Münze kann wie folgt beschrieben werden:
- Wir teilen die 27 Münzen in drei Gruppen von jeweils 9 Münzen auf.
- Wir wiegen die ersten beiden Gruppen ab. Wenn sie gleich wiegen, ist die falsche Münze in der dritten Gruppe.
- Wenn eine der ersten beiden Gruppen weniger wiegt, befindet sich die falsche Münze in einer von ihnen. In diesem Fall fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
- Teilen wir die ausgewählte Gruppe in drei Teile auf: jeweils 3 Münzen.
- Wir wiegen zwei von drei Teilen. Wenn sie gleich wiegen, befindet sich die falsche Münze im dritten Teil.
- Wenn eines der beiden ausgewählten Teile weniger wiegt, befindet sich eine falsche Münze darin. In diesem Fall fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
- Wir nehmen den ausgewählten Teil, der aus 3 Münzen besteht, und wiegen eine Münze daraus.
- Wenn eine der gewichteten Münzen weniger wiegt, ist diese Münze falsch. Wenn alle Münzen gleich wiegen, fehlt in dieser Aufgabe eine falsche Münze.
Daher sind nur drei Gewichtungen erforderlich, um eine gefälschte Münze von 27 Münzen zu identifizieren.
