Die Lösung von Gleichungssystemen ist eine der Hauptaufgaben in der Mathematik. Einer der klassischen Ansätze zur Lösung von Gleichungssystemen ist die Additionsmethode. Mit dieser Methode können Sie den Wert unbekannter Variablen anhand der Verhältnisse zwischen den Systemgleichungen ermitteln.
Bevor Sie mit der Lösung des Gleichungssystems durch Addition beginnen, müssen Sie sicherstellen, dass alle Gleichungen des Systems in derselben Form geschrieben sind. Zum Beispiel können alle Gleichungen als Gleichungen der Form y = ax + b geschrieben werden, wobei x und y Variablen sind und a und b Konstanten sind.
Nachdem alle Gleichungen des Systems in einer Form geschrieben wurden, können Sie mit der Lösung durch Addition beginnen. Dazu ist es notwendig, eine Variable in einer der Gleichungen des Systems durch eine andere auszudrücken. Dann ersetzen wir den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen des Systems. Nach der Substitution wird eine Gleichung mit einer unbekannten Variablen gebildet, die mit Standardmethoden gelöst werden kann - eine Variable auszudrücken und ihren Wert zu finden.
Nachdem wir dann den Wert einer Variablen gefunden haben, kehren wir zu einer der ursprünglichen Gleichungen zurück und ersetzen den gefundenen Wert durch einen Ausdruck. Danach finden wir den Wert der zweiten Variablen. Die resultierenden Variablenwerte sind die Lösung des Gleichungssystems durch Addition.
Die Grundidee der Additionsmethode
Um die Additionsmethode anzuwenden, ist es notwendig:
- Die ursprünglichen Gleichungen werden untereinander geschrieben, so dass sich die Variablen und ihre Koeffizienten in derselben Spalte befinden (wenn einige Variablen in einer der Gleichungen fehlen, können Sie sie mit Nullen ergänzen).
- Die Gleichungen werden so addiert, dass die Variablen mit den gleichen Koeffizienten reduziert werden und eine Gleichung mit einer Variablen übrig bleibt.
- Es werden Variablen reduziert und die resultierende Gleichung mit einer Variablen gelöst.
- Der resultierende Wert einer Variablen wird in eine der ursprünglichen Gleichungen zurückgesetzt, um den Wert einer anderen Variablen zu finden.
- Die resultierenden Variablenwerte werden in die ursprünglichen Gleichungen eingefügt, um zu überprüfen, ob die Lösung korrekt ist.
Die Additionsmethode hat einige Einschränkungen und setzt voraus, dass das Gleichungssystem eine Lösung hat. Für den Fall, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat oder eine unendliche Anzahl von Lösungen aufweist, ist die Additionsmethode möglicherweise nicht anwendbar. Für Gleichungssysteme mit einer Lösung ist die Additionsmethode jedoch ein effektives und einfach zu bedienendes Werkzeug.
Anwendung der Additionsmethode bei der Lösung von Gleichungssystemen
Der Prozess zur Lösung des Gleichungssystems durch Addition besteht aus den folgenden Schritten:
- Schreiben Sie alle Gleichungen des Systems in Standardform auf, wobei jede Gleichung die Form hat ax + by = c, wo a und b - quoten und c - die rechte Seite.
- Wählen Sie zwei beliebige Gleichungen aus und führen Sie sie zu derselben Ansicht, z. B. zu einer Ansicht ax + by = c.
- Addieren Sie beide Gleichungen, indem Sie auf der linken Seite neue Koeffizienten erhalten a' und b' und rechts ist der neue rechte Teil c'.
- Die resultierende Gleichung hat die Form a'x + b'y = c'. Lösen Sie diese Gleichung relativ unbekannt x und y.
- Die gefundenen Werte ersetzen x und y in eine der ursprünglichen Gleichungen, um die Werte anderer Unbekannter zu finden.
Mit der Additionsmethode können Sie die Werte unbekannter Variablen im Gleichungssystem ermitteln. Diese Methode ist besonders effektiv, wenn eine der Gleichungen eine Variable enthält, die leicht durch Addition oder Subtraktion mit einer anderen Systemgleichung beseitigt werden kann.
| Ein Beispiel | Die Entscheidung |
|---|---|
| 2x + 3y = 7 | (1) |
| 4x - 2y = 2 | (2) |
| Wir übertragen alle Formulierungen auf die linke Seite der Gleichungen: | |
| 2x + 3y - 7 = 0 | (3) |
| 4x - 2y - 2 = 0 | (4) |
| Multiplizieren Sie die Gleichung (4) mit 3: | |
| 12x - 6y - 6 = 0 | (5) |
| Addieren Sie die Gleichungen (3) und (5): | |
| 14x - 13 = 0 | (6) |
| Finde den Wert von x: | |
| x = 13/14 | (7) |
| Setzen Sie den Wert x in Gleichung (1) ein: | |
| 2(13/14) + 3y = 7 | (8) |
| Finde den Wert von y: | |
| y = 8/14 | (9) |
Die Lösung des Gleichungssystems wäre also x = 13/14, y = 8/14.
Schritt 1: Ausdruck einer Variablen durch eine andere
Um das Gleichungssystem durch Addition zu lösen, müssen Sie mit dem Ausdruck einer Variablen durch eine andere beginnen. Dies wird das System vereinfachen und es auf eine Gleichung mit einer Variablen reduzieren.
Angenommen, wir haben ein System aus zwei Gleichungen:
| Gleichung 1: | ax + by = c |
| Gleichung 2: | dx + ey = f |
Um eine Variable durch eine andere auszudrücken, wählen wir eine Variable und eine der Gleichungen aus. Dann werden wir durch algebraische Transformationen von dieser Gleichung zum Ausdruck einer Variablen durch eine andere übergehen.
Zum Beispiel drücken wir die Variable y durch x in Gleichung 1 aus:
| ax + by = c |
| by = c - ax |
| y = (c - ax) / b |
Jetzt haben wir einen Ausdruck für y durch x, der verwendet werden kann, um die zweite Gleichung des Systems zu ersetzen. Dadurch können wir das System auf eine Gleichung mit einer Variablen reduzieren und für die gefundene Variable lösen.
Auswählen einer Variablen für einen Ausdruck
Der Prozess der Lösung eines Gleichungssystems durch Addition beginnt mit der Auswahl einer Variablen für den Ausdruck.
In einem Gleichungssystem enthält jede Gleichung mehrere Variablen, und Sie müssen eine Variable auswählen, um das System zu lösen, um die anderen Variablen auszudrücken.
Wenn Sie eine Variable für einen Ausdruck auswählen, wird empfohlen, sich auf eine Gleichung zu konzentrieren, die die geringste Anzahl von Variablen enthält, oder auf eine Gleichung, in der eine der Variablen leicht durch eine andere ausgedrückt werden kann. Diese Wahl wird weitere Berechnungen vereinfachen und die Systemlösung beschleunigen.
Sobald eine Variable für den Ausdruck ausgewählt ist, müssen Sie die Berechnungen durchführen, indem Sie die anderen Variablen durch diese ausgewählte Variable ausdrücken. Sie können dies tun, indem Sie den gefundenen Wert in jede Gleichung des Systems ersetzen und die resultierenden Gleichungen in Bezug auf neue Variablen später lösen.
Wiederholen Sie diese Schritte weiter, bis alle Variablen gefunden und in das ursprüngliche Gleichungssystem eingefügt wurden. Analysieren Sie danach die erhaltenen Werte und überprüfen Sie sie, indem Sie sie in die ursprünglichen Gleichungen einfügen. Auf diese Weise können Sie sicherstellen, dass die Entscheidung richtig ist und eine endgültige Antwort erhalten.
Beispiel für den Ausdruck einer Variablen durch eine andere
Bei der Lösung des Gleichungssystems durch Addition ist es oft notwendig, eine Variable durch eine andere auszudrücken. Dies ermöglicht es, das System auf eine Gleichung mit einer Variablen zu reduzieren, was den Lösungsprozess erheblich vereinfacht.
Betrachten Sie ein einfaches Beispiel für ein Gleichungssystem:
Gleichung 1: 2x + 3y = 10
Gleichung 2: 4x - 5y = 8
Um eine Variable auszudrücken x durch eine Variable y. Sie müssen die Gleichungen so transformieren, dass die Koeffizienten bei einer der Variablen modulo gleich werden.
Nehmen wir an, wir wollen ausdrücken x durch y. Im ersten Schritt multiplizieren wir beide Gleichungen mit solchen Zahlen, damit die Koeffizienten bei x sie sind modular identisch geworden. In diesem Fall können Sie die erste Gleichung mit 2 und die zweite Gleichung mit 4 multiplizieren:
Gleichung 1: 4x + 6y = 20
Gleichung 2: 16x - 20y = 32
Subtrahieren wir dann eine Gleichung von der anderen, um eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten:
(Gleichung 2) - (Gleichung 1): 12x - 26y = 12
Jetzt können wir eine Variable ausdrücken x durch eine Variable y. Um dies zu tun, teilen wir beide Koeffizienten bei einer Variablen x für die Nummer 12:
Also haben wir die Variable ausgedrückt x durch eine Variable y. Dieses Ergebnis kann in jede der ursprünglichen Gleichungen eingefügt werden, um den numerischen Wert der Variablen zu erhalten.
Beachten Sie, dass diese Methode auf alle Gleichungssysteme angewendet werden kann, in denen mindestens zwei Gleichungen mit zwei Variablen vorhanden sind. Es ermöglicht Ihnen, den Lösungsprozess zu vereinfachen und den genauen Wert einer Variablen durch eine andere zu erhalten.
Schritt 2: Erstellen eines neuen Gleichungssystems
Nachdem wir die Werte einer Variablen definiert haben, müssen Sie ein neues Gleichungssystem erstellen, in dem diese Variable bereits bekannt ist. Dazu ersetzen wir den gefundenen Wert dieser Variablen durch alle Gleichungen aus dem ursprünglichen System.
Als Ergebnis des Ersetzens erhalten wir ein neues Gleichungssystem, in dem nur die Variablen übrig bleiben, die wir finden müssen.
Wenn wir beispielsweise den Wert der Variablen x finden, ersetzen wir x durch den gefundenen Wert in allen anderen Systemgleichungen.
Das neue Gleichungssystem besteht nur aus Variablen, die wir lösen möchten. Jetzt, da wir eine der Variablen losgeworden sind, können wir eine andere Methode zum Lösen des Gleichungssystems verwenden, z. B. eine Substitutionsmethode oder eine Ausschlussmethode.
Wir wiederholen die Schritte, bis wir die Werte aller Variablen im Gleichungssystem gefunden haben. Wenn wir die Werte aller Variablen finden, können wir sie überprüfen, indem wir sie in das ursprüngliche Gleichungssystem zurückführen, um sicherzustellen, dass sie die richtigen Lösungen sind.
Ersetzen eines Ausdrucks im ursprünglichen Gleichungssystem
Bei der Lösung eines Gleichungssystems durch Addition ist es manchmal notwendig, einen Ausdruck durch einen anderen zu ersetzen, um das weitere Vorgehen zu vereinfachen.
Befolgen Sie diese Schritte, um einen Ausdruck im ursprünglichen Gleichungssystem zu ersetzen:
- Bestimmen Sie, welcher Ausdruck ersetzt werden soll. Dies tritt normalerweise auf, wenn eine der Gleichungen eine Variable enthält, die durch eine andere Variable ausgedrückt werden kann.
- Lösen Sie diesen Ausdruck relativ zu einer anderen Variablen auf. Dadurch können Sie von einer Gleichung zur nächsten wechseln, wobei dieser Ausdruck durch einen neuen ersetzt wird.
- Ersetzen Sie in allen Systemgleichungen einen neuen Ausdruck anstelle des alten. Dadurch erhalten Sie ein neues Gleichungssystem, in dem der ursprüngliche Ausdruck ersetzt wird.
Das Ersetzen eines Ausdrucks im ursprünglichen Gleichungssystem ist eine nützliche Technik, die das Lösen eines Gleichungssystems durch Addition erheblich vereinfachen kann. Denken Sie daran, zu überprüfen, ob der Ausdruck korrekt ersetzt wurde, und führen Sie das System zu einer Gleichung mit einer Variablen, um eine endgültige Antwort zu erhalten.
Schritt 3: Lösen eines neuen Gleichungssystems
Jetzt, da wir eine Gleichung haben, in der eine unbekannte Variable bereits verschwunden ist, können wir das Gleichungssystem leicht lösen, indem wir den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ersetzen.
- Wählen Sie eine der ursprünglichen Gleichungen aus, die eine andere Variable enthält, die in den vorherigen Schritten nicht ausgeschlossen wurde.
- Ersetzen Sie den gefundenen Wert durch eine Variable aus dem vorherigen Schritt in die ausgewählte Gleichung.
- Löse eine neue Gleichung für eine unbekannte Variable.
- Der resultierende Wert einer Variablen ist eine der Lösungen des Gleichungssystems.
Wiederholen Sie diese Schritte für die restlichen ursprünglichen Gleichungen, indem Sie die gefundenen Variablenwerte ersetzen, bis Sie die Werte aller unbekannten Variablen gefunden haben.
Überprüfen Sie die resultierenden Werte, indem Sie sie in jede der ursprünglichen Gleichungen einfügen. Wenn alle Gleichungen ausgeführt werden, haben Sie die richtige Lösung für das Gleichungssystem gefunden.
Anwenden der Additionsmethode auf ein neues Gleichungssystem
Um diese Methode auf ein neues Gleichungssystem anzuwenden, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
- Eine Variable in jeder Gleichung des Systems durch eine andere ausdrücken.
- Gleichungen in die gleiche Form bringen, z. B. linear oder quadratisch.
- Addieren Sie die resultierenden Gleichungen, um ihre Variablengrade auszugleichen.
- Vereinfachen Sie die resultierende Gleichung und lösen Sie sie.
- Ersetzen Sie den gefundenen Wert einer Variablen in eine der ursprünglichen Gleichungen und finden Sie den Wert einer anderen Variablen.
- Überprüfen Sie die erhaltenen Antworten, indem Sie sie in die ursprünglichen Systemgleichungen einfügen.
Die Additionsmethode kann auf Gleichungssysteme beliebiger Komplexität angewendet werden und ermöglicht genaue Ergebnisse. Wenn Sie die Schritte dieser Methode ausführen, ist es wichtig, vorsichtig und vorsichtig zu sein, um Fehler beim Ausdrücken von Variablen und beim Summieren von Gleichungen zu vermeiden. Außerdem sollten Sie die erhaltenen Antworten überprüfen, um mögliche Ersetzungsfehler zu vermeiden.
Die Anwendung der Additionsmethode ermöglicht es, das Gleichungssystem effektiv zu lösen und eine genaue Lösung zu erhalten.
