quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0, wobei a, b und c beliebige Zahlen sind, wobei a ≠ 0. Es erhielt seinen Namen, weil der Grad der Variablen x gleich zwei ist. Das Lösen einer quadratischen Gleichung ist eine der Hauptaufgaben der Algebra, und das Finden einer Wurzel aus ihrer Diskriminanz hilft festzustellen, wie viele Wurzeln diese Gleichung hat. In diesem Artikel werden wir uns ansehen, wie Sie die Wurzel aus der Diskriminanz finden und sie verwenden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden.
Die Diskriminante der quadratischen Gleichung wird durch die Formel D = b^2 - 4ac berechnet. Es ist ein Schlüsselindikator bei der Lösung der Gleichung, da es die Anzahl und Art der Wurzeln bestimmt. Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn D = 0 ist, stimmen die Wurzeln der Gleichung überein und sind reelle Zahlen. Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung zwei komplexe Wurzeln.
Die Wurzel aus dem Diskriminanten (bezeichnet als √D) kann mit einer Quadratwurzel gefunden werden. Wenn D eine positive Zahl ist, ist √D eine reelle Zahl. Wenn D negativ ist, ist √D eine komplexe Zahl. Es ist wichtig zu beachten, dass die Wurzel einer negativen Zahl eine imaginäre Zahl ist.
Definieren einer quadratischen Gleichung
ax 2 + bx + c = 0
wo a, b und c - bekannte Zahlen, wobei a ≠ 0.
Eine solche Gleichung wird als quadratisch bezeichnet, da eine Variable in der 2. Potenz (x 2 ) darin vorhanden ist.
Die Hauptaufgabe beim Lösen einer quadratischen Gleichung besteht darin, den Wert einer Variablen zu finden x wobei die linken und rechten Teile der Gleichung gleich zueinander sind.
Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind die Werte der Variablen x, die Gleichheit befriedigen:
ax 2 + bx + c = 0
Wenn eine quadratische Gleichung zwei verschiedene Lösungen hat, hat sie zwei Wurzeln. Wenn die Lösung eine ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Und in einigen Fällen hat die quadratische Gleichung keine Lösungen.
Um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden, müssen Sie die Diskriminanzformel anwenden:
| Diskriminant (D) | Anzahl der Wurzeln |
| D > 0 | Zwei verschiedene Wurzeln |
| D = 0 | Eine Wurzel |
| D < 0 | Die Gleichung hat keine Lösungen |
Formel zum Finden von Lösungen für eine quadratische Gleichung:
x1 = (-b + √D) / 2a
x2 = (-b - √D) / 2a
Wo x1 und x2 - die Wurzeln der quadratischen Gleichung, a - koeffizient bei x 2 , b - koeffizient bei x, D - Diskriminante.
Es sollte beachtet werden, dass es notwendig ist, den Wert des Diskriminanten zu berechnen, um die Wurzeln zu berechnen und sicherzustellen, dass er nicht negativ ist.
Die Formel des Diskriminanten
Diskriminante - dies ist ein mathematisches Konzept, mit dem wir bestimmen können, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Es wird nach der Formel berechnet:
Hier a, b und c - dies sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Die Diskriminanzformel ermöglicht es uns zu bestimmen, welche der drei möglichen Fälle ausgeführt werden:
- Wenn D > 0 dann hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln.
- Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine Wurzel (sie stimmen überein).
- Wenn D < 0, dann hat die Gleichung keine Wurzeln, da ihr Diagramm die Achse der Abszisse nicht schneidet.
Wenn wir den Diskriminanten kennen, können wir verstehen, welche Lösung eine quadratische Gleichung hat und welche Maßnahmen ergriffen werden müssen, um sie zu lösen.
Wie man einen Diskriminanten findet
Die Formel zur Berechnung des Diskriminanten der quadratischen Gleichung ax^2 + bx + c = 0 lautet wie folgt:
- $$D = b^2 - 4ac$$, wenn a, b und c Zahlen sind.
- Wenn $$D > 0$$ ist, hat die Gleichung zwei verschiedene gültige Wurzeln.
- Wenn $$D = 0$$ ist, hat die Gleichung zwei identische gültige Wurzeln.
- Wenn $$D < 0$$ ist, hat die Gleichung zwei komplexe Wurzeln, was bedeutet, dass die Wurzeln imaginäre Zahlen oder komplexe sind.
Wenn wir die Bedeutung des Diskriminanten kennen, können wir die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit den folgenden Formeln ableiten:
- Wenn $$D > 0$$ ist, können die Wurzeln der Gleichung anhand der Formeln gefunden werden: $$x_1 = \frac>$$ und $$x_2 = \frac>$$.
- Wenn $$D = 0$$ ist, können die Wurzeln der Gleichung durch die Formel gefunden werden: $$x = \frac$$.
- Wenn $$D < 0$$, то корни уравнения являются комплексными числами и могут быть представлены в виде: $$x_1 = \frac>$$ und $$x_2 = \frac>$$, wobei i eine imaginäre Einheit ist.
Jetzt, da Sie wissen, wie man einen Diskriminanten findet und wie man ihn verwendet, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu bestimmen, können Sie solche Gleichungen leicht lösen und ihre Lösungen analysieren.
Wenn die Diskriminanz kleiner als Null ist
Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die quadratische Gleichung keine gültigen Wurzeln.
Mathematisch bedeutet dies, dass sein Graph die x-Achse nicht schneidet. Stattdessen befindet er sich vollständig über oder unter der x-Achse.
Sie können einen Ausdruck unter der Diskriminanzwurzel verwenden, um dies zu bestimmen. Wenn es negativ ist, ist der Diskriminant kleiner als Null und die Gleichung hat keine Wurzeln.
Zum Beispiel beim Lösen einer Gleichung ax 2 + bx + c = 0. die Diskriminanz wird durch die Formel berechnet D = b 2 - 4ac. Wenn der resultierende Wert des Diskriminanten negativ ist, gibt es keine Wurzeln.
Anstelle von gültigen Wurzeln kann die Gleichung komplexe (imaginäre) Wurzeln haben. Sie können komplexe Zahlen verwenden, um sie zu berechnen.
Es ist wichtig zu berücksichtigen, dass im Falle eines negativen Diskriminanten die Lösung der Gleichung als komplexe Zahlen und nicht als reelle Zahlen dargestellt wird.
Wenn die Diskriminanz Null ist
Um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 zu finden, wobei a, b und c Koeffizienten sind, müssen Sie den Wert des Diskriminanten D anhand der Formel D = b^2 - 4ac berechnen. Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung nur eine Wurzel, die mit der folgenden Formel gefunden werden kann:
| Die Wurzel der Gleichung | Formel |
|---|---|
| x | x = -b / (2a) |
Wenn also die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung nur eine Wurzel, die durch die Formel x = -b / (2a) gefunden werden kann.
Wenn wir diese Eigenschaft kennen, können wir sie in praktischen Berechnungen anwenden. Wenn wir zum Beispiel die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden müssen und bei der Berechnung des Diskriminanten den Wert 0 erhalten, deutet dies darauf hin, dass die Gleichung nur eine Wurzel hat, die mit der Formel x = -b / (2a) gefunden werden kann.
Wenn die Diskriminanz größer als Null ist
Wenn die Diskriminante größer als Null ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln hat.
Um die Wurzeln des Diskriminanten zu finden, ist es notwendig, die quadratische Gleichung in der folgenden Form zu lösen:
Wenn die Diskriminante D größer als Null ist, können die Wurzeln der Gleichung mit der Formel gefunden werden:
Wobei a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind.
Gefundene x-Werte1 und x2 sind die Wurzeln der Gleichung, die die Schnittpunkte des Funktionsdiagramms mit der x-Achse darstellen.
Wenn Sie diese Formeln verwenden, müssen Sie auf die Operationszeichen achten und die Werte richtig berechnen, um die richtigen Wurzeln der Gleichung zu erhalten.
So finden Sie Wurzeln aus Diskriminanz
1. Berechnen Sie den Diskriminanten mit der Formel: D = b2 – 4ac, wobei a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind.
2. Bestimmen Sie den Wurzeltyp anhand des Diskriminanzwerts:
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln;
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel, die als Multiplikationswurzel 2 bezeichnet wird;
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, hat aber zwei imaginäre Wurzeln.
3. Wenn die Gleichung reelle Wurzeln hat, können Sie sie anhand der Formel finden:
4. Wenn die Gleichung imaginäre Wurzeln hat, können sie sie als dargestellt werden:
Wobei i die imaginäre Einheit ist und √ die Wurzel der Zahl ist.
Die Kenntnis des Diskriminanten hilft zu bestimmen, welche Anzahl und welche Art von Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Dies ermöglicht es Ihnen, Aufgaben effizient zu lösen und quadratische Funktionsdiagramme zu erstellen.
